Rectas en 3D

Rectas en 3D Punto por el que sabemos pasa la recta Punto cualquiera sobre nuestra recta Resta vectorial indica dirección de recta Cualquier vector paralelo a a indica dirección Coordenadas de punto en recta cumplen

Ecuaciones paramétricas de la recta Números directores: a,b,c Notaciones alternativas Vectores unitarios Componentes en orden Vector columna

Rectas en 3D Consideren la cuestión: ¿Qué relación concreta existe entre los vectores a y v? Está abierta. La diferencia entre distintas elecciones consiste en que, una vez escogido al vector v, queda determinado el parámetro escalar t en su rango y en su escala. Se conviene en elegir al punto P0 a la izquierda, cuando se observa el primer octante (vector a de izquierda a derecha). ¿Qué consecuencia tendría el elegir al vector –v en vez de v?

Ejemplo 1 de rectas en 3D Una recta pasa por el punto (5,1,3) y es paralela al vector (1,4,-2). Encontrar la ecuación paramétrica de la recta Encontrar otros puntos de la misma recta a) b)

Ejemplo 1 de rectas en 3D La recta en azul pasa por el punto (5,1,3) en magenta y es paralela al vector de extremo(1,4,-2) en anaranjado. Otros dos puntos de la misma recta en marrón.

Ejemplo 1 en Mathcad

Ecuaciones simétricas Despejando a t de cada una de las ecuaciones paramétricas

Continuación de ejemplo a=0

Ejemplo 2 de rectas en 3D Hallar las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por los puntos A(2,4,-3) y B(3,-1,1). ¿En qué punto corta esta recta al plano xy? El vector diferencia puede ser determinado y luego empleado Tomando al punto A, las ecuaciones paramétricas son

Ejemplo 2 de rectas en 3D … para las ecuaciones simétricas, usando los números directores hallados (1,-5,4) y usando al punto A(2,4,-3), al sustituir en las ecuaciones simétricas resultan La recta corta al plano xy cuando z=0. De las ecuaciones anteriores

Ejemplo 2 de rectas en 3D Despejando x Despejando y Por lo anterior, las coordenadas del punto cortando al plano xy son (11/4,1/4,0).

Ejemplo 3 de rectas en 3D Demostrar que las rectas con ecuaciones paramétricas dadas son oblicuas (no se cortan sin ser paralelas), o sea, no son coplanares… Para L1, a1=<1,3,-1>, mientras que para L2, a2=<2,1,4>. ¿Son paralelos? Al no resultar el vector cero, los vectores forman un ángulo distinto de cero entre sí

Ejemplo 3 de rectas en 3D Si las dos rectas se cortaran, habría un punto con las mismas coordenadas <x,y,z> o, habría valores de t y s cumpliendo La coordenada z no coincide

Conclusiones