2. Asistentes de Pruebas para Lógicos y Matemáticos II 2. Asistentes de Pruebas para Lógicos y Matemáticos II. Cálculo de Predicados TPPSF

1. Cálculo de predicados - Sintaxis Términos símbolos de variable  pueden ser variables de individuo, predicado o función  un símbolo de variable tiene asociado un dominio símbolos de constante símbolos de función Fórmulas variables de predicados (unarios, binarios, etc) conectivos: ,  , , , ~,  cuantificadores: ,  TPPSF

Cálculo de predicados Cálculo de predicados de primer orden: Cuantificación sobre variables de individuos únicamente : xnat. x=x Cálculo de predicados de orden superior: Cuantificación sobre variables de individuos, función y predicados P ( (P(0)  (x (P(x)  P(S(x)) )  x P(x) ) f g ( (x f(x)=g(x))  f=g ) TPPSF

Cálculo de predicados en Coq Cada símbolo de variable o constante tiene asociado su dominio y Set es el conjunto de todos los dominios nat : Set (nat es dominio) Z : Set (Z es un dominio) 0 : nat (0 es un elemento del dominio nat) f : natnat (f es un símbolo de función unaria entre naturales) g : nat nat nat (g es un símbolo de función binaria entre naturales) TPPSF

Representación de los predicados Un símbolo de predicado es una función proposicional sobre cierto dominio. La aridad del predicado está dada por la cantidad de argumentos de la función P : natProp (P es un símbolo de predicado unario sobre naturales) Q : nat (nat nat) Prop (Q es un símbolo de predicado binario, entre naturales y funciones de naturales en naturales) TPPSF

Cuantificadores Notación: (xU)  se escribe en Coq (x:U)  (xU)  se escribe en Coq (EX x:U | ) Normas de parentización: El cuantificador universal y el implica asocian a la derecha, y tienen igual precedencia. Son más fuertes que los otros conectivos Ejemplo: (P: natProp) (P 0) ((x:nat) (P x) (P (S x)) )(x:nat) (P x) (f,g :natnat) ((x:nat) (f x)=(g x)) f=g TPPSF

Ejemplos Considerando las declaraciones: 0:nat S : natnat Le : nat  nat Prop Min: nat  (nat nat)  Prop Algunas propiedades: (Le 0 (S 0))  ~ (Le (S 0) 0) (Min (S 0) S) (EX x:nat | (Min x S) (f: nat nat) ((x:nat)(Le 0 (f x))) (Min 0 f) TPPSF

Tácticas Cuantificador universal introducción   x:  b  (x:)b Intro x el identificador x es opcional variantes: Intros, Intros x1,...xn TPPSF

Tácticas (II) Cuantificador universal (cont.) eliminación   H: (x1:1) (x2:2)... (xn:n) g b (si g unifica con b con sustitución ) Apply H  H: ... a1  a2  ... an  TPPSF

Tácticas (III) Cuantificador universal (cont.) eliminación   H: (x1:1) (x2:2)... (xn:n) g b (si g unifica con b pero Coq no puede resolver la unificacion y es necesario instanciar la hipótesis H con algunos de los valores t1: 1 ... tj: j) Apply (H t1 ... tj)  H: ... j+1  j+2  ... an  TPPSF

Tácticas (IV) Cuantificador existencial introducción   (EX x:U | (x))  (t) Exists t (t debe ser un elemento de U) eliminación   H: (EX x:U | (x)) b  H: (EX x :U | (x)) (y: U) (y)  b Elim H (y será una variable nueva que no ocurre b) TPPSF

2. Cálculo de predicados con igualdad reflexividad  t=t Reflexivity Probado! simetría  t=u  u=t Symmetry transitividad  t=w w=u  t=u Transitivity w TPPSF

Reescritura   H: a=b  H: a=b [b/a] Rewrite  H Reescribe todas las las ocurrencias de a por b En general: Rewrite  term si term es un término del contexto con tipo a=b Variantes: Rewrite  term in H1 Rewrite  term, Rewrite  term in H TPPSF

Reescritura (cont.)     Replace a with b  [a/b] a=b o bien: (cuando a=b se prueba trivialmente) TPPSF

Reescritura (cont.)   H: a=b Reescritura condicional  H: a=b (a, ..., a[j1] ,...a,... a[j2] ...a,... a[jk] ,...a) Pattern j1 ... jk in a. Rewrite  H.  H: a=b (a, ..., b ,...a,... b ...a,... b ,...a) TPPSF