Muestreo de señales de tiempo continuo

Contenido Muestreo de Señales continuas Reconstruccion de señales muestreadas La frecuencia de Nyquist Normalizacion de la frecuencia de señales muestreadas

Muestreo de Señales continuas

Señales de tiempo discreto Las señales de tiempo discreto son simplemente una secuencia de números

Señales de tiempo discreto Notese que x[n] esta definida para valores enteros de n x[n] no esta definida para argumentos no-enteros La notacion x[n] representa tanto a la secuencia completa como al valor de la secuencia en n

Muestreo periodico de una señal continua El proceso de muestreo es la transformacion de una señal continua a una señal discreta sampling Analog signal Discrete-time sequence El sistema que implementa esta operacion es llamado un conversor ideal

Muestreo periodico de una señal continua El proceso de muestreo toma el valor instantaneo de la continua cada periodo de muestreo Ts es el periodo de muestreo ud(k) = u(kTs) es una secuencia discreta definida para valores enteros k∈Z.

Muestreo ideal de una señal continua ud(k) := u(kTs) . k =1, 2, ···. Frecuencia de muestreo

¿Tiempo discreto a continuo? x[n] = n2 – 5n + 3, for n  0 produce las muestras {3, -1, -3, -3, -1, 3, ...} No es posible saber como se ve la secuencia en el tiempo continuo porque no tiene un muestreo asociado con ella

Señales de datos muestreados y señales de tiempo discreto Las señales de tiempo discreto son simplemente una secuencia de números Las señales de datos muestreados se refieren a la situación híbrida donde interactúan señales de tiempo continuo y señales de tiempo discreto

¿Por qué es importante el muestreo? Principalmente por el gran desarrollo de la tecnologia digital, que hace posible sistemas de tiempo discreto eficientes, programables, reproducibles, livianos y baratos.

¿Por qué es importante el muestreo? Sistemas de procesamiento digital de señales y sistemas continuos mas eficientes Algoritmos de control Filtrado y tratamiento digital Almacenamiento de voz, musica y video en forma digital Transmision de informacion sobre canales de comunicacion digitales Luego del procesamiento, se reconstruye la señal continua

Reconstruccion de señales muestreadas

El problema de la ambiguedad En general, una señal de tiempo discreto puede ser generada por infinito numero de señales continuas ¿Es posible reconstruir de manera univoca la señal continua original de la señal muestreada? x1(t), x2(t), x3(t), x[n] t = nT

El problema de la ambiguedad Claramente, el incremento del periodo de muestreo mejora la resolucion t x(t) t x(t) ¿Que tan rapido muestrear? ¿Cual es el periodo de muestreo critico?

Muestreo de una onda senoidal Considere el muestreo de una onda senoidal simple 300Hz 700Hz Sampling rate: 1000Hz No es posible distinguir la onda de 700 Hz de la de 300 Hz

Frecuencia aparente Consideremos el problema analiticamente, cos(x) = cos(x + 2pm)

Frecuencia aparente Si m es un multiplo entero de n, m = k*n Las frecuencias f0 +kfs aparentemente parecen ser f0 < fs / 2 “alias” f0 +kfs son las frecuencias de “solapamiento” de f0

Frecuencia aparente En general, fs / 2 fs 2 fs 3 fs / 2 Apparent Actual Frequency Apparent fs / 2 fs 2 fs 3 fs / 2

Para evitar solapamiento En general, el error por solapamiento (aliasing) resulta de no tener suficientes muestras para señales de cambios rapidos 700Hz Para evitar el aliasing, muestrear lo suficiente mente rapido! Sampling rate increases to: 1400Hz

Antialiasing Para prevenir el aliasing son posibles dos vias: Hacer el muestreo lo suficientemente rapido, es decir, fs > 2fMAX Usar un filtro para quitar las frecuencias de la señal por encima de fs /2 Amplifier Low-pass Filter Input Signal

La frecuencia de Nyquist Claude Elwood Shannon Harry Nyquist La frecuencia de Nyquist

Señal de banda limitada Definicion: Una señal es de banda limitada a fMAX hertz si U(f) = ℑ [u(t)] = 0 for |f| ≥ fMAX |U(j)| MAX En las señales de banda limitada el contenido en el dominio de la frecuencia esta limitado a un rango de frecuencias. 

Frecuencia de Nyquist El teorema del muestreo (Nyquist, Shannon): Para que una señal de banda limitada pueda ser reconstruida completamente, la frecuecia de muestreo debe cumplir,

Normalizacion de la frecuencia de señales muestreadas

El Concepto de frecuencia para una señal continua Para una señal senoidal El incremento de f da como resultado mas oscilaciones por unidad de tiempo (más períodos en la unidad de tiempo) Dos señales senoidales con frecuencias distintas f 1 y f 2 son distintas.

El Concepto de frecuencia para una señal de tiempo discreto Sea la señal senoidal de tiempo discreto Para periodicidad debe cumplirse Esta relación es verdadadera si y sólo si existe un entero k tal que

El Concepto de frecuencia para una señal de tiempo discreto Sea la señal senoidal de tiempo discreto Para periodicidad, f debe ser un numero racional Si k y N son primos entre si entonces N se denomina el periodo fundamental de x[n]

El periodo de una señal de tiempo discreto Sean dos señales senoidales de tiempo discreto Un pequeño cambio en la frecuencia da como resultado un cambio grande en el periodo

Frecuencia maxima de una señal de tiempo discreto La maxima oscilacion de una señal senoidal de tiempo discreto se obtiene cuando La frecuencia radial w maxima es entonces

Frecuencia discreta de una señal continua Considerese que la señal x(t) produce x[n] Definamos la frecuencia digital Las unidades de wd es radianes, no rads/seg

Frecuencia discreta de una señal continua Cuando wd varia entre 0 y 2p, entonces f varia de 0 a la frecuencia de muestreo La frecuencia digital esta normalizada

Normalizacion de la frecuencia En la mayoría de las situaciones del análisis de señales muestreadas, la conección con un mecanismo de muestreo simplemente se descarta Introduciendo la transformación de variables Asumiendo Ts = 1.

Normalizacion de la frecuencia Las señales se interpretan como señales de tiempo discreto (secuencias de números) La frecuencia radial se normaliza en el intervalo [0, p]

Normalizacion de la frecuencia Ejemplo: 

Reconstruccion de la señal continua

Muestreo periodico de una señal continua El proceso de muestreo toma el valor instantaneo de la continua cada periodo de muestreo Ts es el periodo de muestreo ud(k) = u(kTs) es una secuencia discreta definida para valores enteros k∈Z.

Muestreo periodico impulsivo Necesitamos una forma conveniente para representar el muestreo periodico de una señal continua Una manera de hacerlo es a traves del uso de un tren de impulsos Se asume que se toma el valor de la señal en un instante infinitesimal de tiempo

Toma de la muestra mediante la señal impulso 1 1/2 2 1/4 4 3 5 1/8 Voltage pulse of strength 11=1 Pulse of strength 20.5=1 More pulses of strength 1 As width 0, & height   with strength remaining at 1 we get ‘unit impulse’ Volts t

Muestreo con un tren de impulsos periodico Conversion from impulse train to discrete-time sequence Conversor C/D ideal

Muestreo con un tren de impulsos periodico

Efecto en el dominio de la frecuencia Aliasing Effect

Aliasing Effect

Sistema de reconstruccion ideal Reconstruction Filter Convert from sequence to impulse train

Fuentes Lewis Andrew, A Mathematical Introduction to Feedback Control. Queen’s University. Kingston, Canada. Abril, 2003. Tsakalis Kostas, System properties, A Collection of Class Notes. http://www.eas.asu.edu/~tsakalis. December, 2003 Roberts Clive, Fundamentals of Signals and Systems. University of Birmingham. 2003. Olver Peter J. and Shakiban Chehrzad, Applied Mathematics. School of Mathematics, University of Minnesota and Department of Mathematics, University of St. Thomas. 1999.