Matemáticas 2.º Bachillerato Combinatoria. Cálculo de probabilidades RESUMEN DE COMBINATORIA

Matemáticas 2.º Bachillerato Combinatoria. Cálculo de probabilidades Variaciones sin repetición Variaciones ordinarias o variaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n (n  m) son los distintos grupos que se pueden formar con los m elementos, de manera que:  En cada grupo entren n elementos distintos.  Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación de éstos. Su número se representa por V m, n o V m n.

Matemáticas 2.º Bachillerato Combinatoria. Cálculo de probabilidades Construcción y número de las variaciones ordinarias Dado el conjunto E = {a, b, c, d, e}. ¿De cuántas maneras podemos ordenar sus elementos formando grupos de 1, 2, 3, 4, 5 elementos sin que se repita ninguno? V 5,1 ab ac ad ae Número V 5,1 = 5 V 5,2 ba bc bd be ca cb cd ce da db dc de ea eb ec ed a b c d e Formación V 5,2 = 5·4 = 20 V 5,3 abc abd abe … bac bad bae... cab cad cae …... eda edb edc V 5,3 = 5·4·3 = 60 n factores decrecientes consecutivos En general: V m, n = m (m – 1) (m – 2) (m – 3) ………….. (m – n + 1)

Matemáticas 2.º Bachillerato Combinatoria. Cálculo de probabilidades Construcción de las variaciones ordinarias mediante un diagrama de árbol En una carrera de motos participan 20 corredores. Teniendo en cuenta que no pueden llegar al mismo tiempo, ¿de cuántas maneras podrán llegar a la meta los tres primeros? V 20,3 =20 x 19 x 18 = 6840 posibilidades

Matemáticas 2.º Bachillerato Combinatoria. Cálculo de probabilidades Variaciones con repetición Variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n son los distintos grupos que se pueden formar con los m elementos, de manera que:  En cada grupo entren n elementos repetidos o no.  Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación de éstos. Su número se representa por VR m, n o VR m n

Matemáticas 2.º Bachillerato Combinatoria. Cálculo de probabilidades Construcción y número de las variaciones con repetición Dado el conjunto E = {a, b, c, d, e}. ¿De cuántas maneras podemos ordenar sus elementos formando grupos de 1, 2, 3,…. elementos repitiendo cada uno tantas veces como haga falta? VR 5, 1 Número VR 5, 1 = 5 VR 5, 2 da db dc dd de a b c d e Formación VR 5, 2 = 5·5 = 25 VR 5,3 ………………………… VR 5, 3 = 5 · 5 · 5 = 125 n factores En general: VR m, n = m. m. m. m. …. m = m n aa ab ac ad ae aaa aab aac … ba bb bc bd be baa bab bac... ca cb cc cd ce caa cab cac … ea eb ec ed ee eea eeb eec

Matemáticas 2.º Bachillerato Combinatoria. Cálculo de probabilidades Construcción de las variaciones con repetición mediante un diagrama de árbol Lanzamos cuatro veces consecutivas una moneda, obteniendo en cada lanzamiento cara (C) o cruz (X). ¿Cuántos resultados distintos podemos obtener? VR 2,4 = 2 4 = 16

Matemáticas 2.º Bachillerato Combinatoria. Cálculo de probabilidades Permutaciones ordinarias Permutaciones ordinarias de n elementos tomados de n en n son los distintos grupos que se pueden formar con los n elementos, de manera que:  En cada grupo entren los n elementos.  Dos grupos son distintos si se diferencian únicamente en el orden de colocación de los elementos. Su número se representa por P n.

Matemáticas 2.º Bachillerato Combinatoria. Cálculo de probabilidades Número de permutaciones ordinarias Dado el conjunto E = {a, b, c, d, e}. ¿De cuántas maneras podemos ordenar sus 5 elementos formando grupos de 5 sin que se repita ninguno? n factores decrecientes consecutivos En general: V n, n = P n = n (n – 1) (n – 2) (n – 3) ………… P 5 = V 5,5 = = 120

Matemáticas 2.º Bachillerato Combinatoria. Cálculo de probabilidades Permutaciones circulares Este tipo de permutaciones se llaman permutaciones circulares de n elementos. El número de permutaciones circulares se representa por PC n =P n-1 =(n-1)! Ejemplo. ¿De cuántas formas se pueden sentar cuatro personas alrededor de una mesa redonda? Se trata de ordenar cuatro personas (a,b,c,d). abcd abdc acbd acdb adbc adcb bcad bcda bdac bdca bacd badc cabd cadb cbad cbda cdab cdba dbac dbca dcab dcba dabc dacb abcd abdc abcd abdc acbd acdb adbc adcb Todas las formas posibles, es decir, P 3 = 3! = 6 formas distintas.

Matemáticas 2.º Bachillerato Combinatoria. Cálculo de probabilidades Permutaciones con repetición Permutaciones con repetición de n elementos donde el primer elemento se repite a veces, el segundo b veces,..., el último k veces (a + b k = n), son los distintos grupos que se pueden formar, de manera que:  En cada grupo de n elementos el primero está a veces; el segundo b veces;...  Un grupo se diferencia de otro únicamente en el orden de colocación de los elementos. Su número se representa por P n a,b,.....,k.

Matemáticas 2.º Bachillerato Combinatoria. Cálculo de probabilidades Número de permutaciones con repetición Con 5 monedas de las cuales dos están en posición de cara y tres en posición de cruz, ¿cuántas ordenaciones diferentes podremos formar en las que siempre dos estén en posición de cara y tres en posición de cruz? Si las monedas fuesen distinguibles (por ejemplo por ser de distintos colores) habría que permutar 5 elementos: en total 5! = 120. Pero a ser indistinguibles, muchas de las permutaciones son iguales. Para contar las permutaciones con repetición hemos de dividir entre el número de repeticiones. Las permutaciones repetidas que tienen tres cruces son 3! Las permutaciones repetidas que tienen dos caras son 2! El número de permutaciones repetidas son 3!. 2! = 12. Por tanto el número de permutaciones con repetición es: 5! / (3!. 2!) = 10. Estas son las ordenaciones: CCXXX CXCXX CXXCX CXXXC XCCXX XCXCX XCXXC XXCCX XXCXC XXXCC En general: n! P n = a! b!... k! a, b,..., k (a + b k = n)

Matemáticas 2.º Bachillerato Combinatoria. Cálculo de probabilidades Combinaciones sin repetición Combinaciones ordinarias o sin repetición de m elementos tomados de n en n (n  m) son los distintos grupos que se pueden formar con los m elementos, de manera que:  En cada grupo entren n elementos distintos.  Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento pero no en el orden de colocación de éstos. Su número se representa por C m, n o C m n.

Matemáticas 2.º Bachillerato Combinatoria. Cálculo de probabilidades Número de combinaciones sin repetición Dado el conjunto E = {a, b, c, d, e}. ¿Cuántos subconjuntos podemos obtener formando cada uno por 1, 2, 3,... elementos sin que se repita ninguno? C 5,1 ab ac ad ae Número C 5, 1 = 5 C 5,2 bc bd be cd ce de a b c d e Formación C 5, 2 = (5.4)/2 = 10 C 5,3 abc abd abe acd ace ade bcd bce cde C 5, 3 = (5.4.3)/6 = 10 bde En general: C m,n = V m, n PnPn

Matemáticas 2.º Bachillerato Combinatoria. Cálculo de probabilidades Combinaciones con repetición Combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (n  m) son los distintos grupos que se pueden formar con los m elementos, de manera que:  En cada grupo entren n elementos repetidos o no.  Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento pero no en el orden de colocación de éstos. Su número se representa por CR m, n o CR m n.

Matemáticas 2.º Bachillerato Combinatoria. Cálculo de probabilidades sí no Variaciones sí Permutaciones sí Con repetición no Ordinarias no Combinaciones sí Variaciones o permutaciones no ¿Conviene contar todos los casos simultáneamente? sí Si hay dos o más tipos de situaciones, se calculan por separado y se suman. ¿Se eligen los elementos de un mismo conjunto? no Se aplica el principio de la multiplicación. ¿Importa el orden? ¿Se escoge un elemento más de una vez? ¿Intervienen todos los elementos? Problemas de combinatoria (I)

Matemáticas 2.º Bachillerato Combinatoria. Cálculo de probabilidades Problemas de combinatoria (II) Dado un conjunto de n elementos, queremos elegir m elementos de ese conjunto. ¿Cómo lo podemos coger? SIN repetición CON repetición Influye el orden NO influye el orden NO todos los elementos Todos los elementos Variaciones ordinarias Variaciones con repetición Permutaciones con repetición Combinaciones ordinarias Combinaciones con repetición

Matemáticas 2.º Bachillerato Combinatoria. Cálculo de probabilidades Números combinatorios En general: C m, n = V m, n PnPn = Esto también se puede escribir de la siguiente forma: m (m –1) (m – 2) … (m – n +1) (m – n )! n! (m – n)! = m! n! (m – n)! C m, n = ( ) mnmn Esta última expresión recibe el nombre de número combinatorio m (m – 1)... (m – n +1) n!

Matemáticas 2.º Bachillerato Combinatoria. Cálculo de probabilidades Propiedades de los números combinatorios (I)  m0m0 = 1 = m! 0! (m – 0)! C m, 0 =  m0m0 = m! 1 · m! = 1  mmmm = 1 = m! m! (m – m)! C m, m =  mmmm = m! m! · 1 = 1  mnmn =  m m – n = m! n! (m – n)!  mnmn = m! (m – n)! n! = m! (m – n)! (m – (m – n))! =  m m – n

Matemáticas 2.º Bachillerato Combinatoria. Cálculo de probabilidades Propiedades de los números combinatorios (II)  mnmn =  m n – 1 +  m + 1 n  mnmn  m n – 1 + = m! (n – 1)! (m – n + 1)! + m! n! (m – n)! = = m!. n n!. (m – n + 1)! + m!. (m – n + 1) n!. (m + 1 – n)! =  m + 1 n m!. (m + 1) n!. (m + 1 – n)! =

Matemáticas 2.º Bachillerato Combinatoria. Cálculo de probabilidades Números combinatorios y triángulo de Pascal 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Triángulo de Pascal ( ) m0m0 = mmmm =1 mnmn = m m–n ( ) mnmn + m n–1 ( ) m+1 n =

Matemáticas 2.º Bachillerato Combinatoria. Cálculo de probabilidades Potencia de un binomio. Binomio de Newton (a + b) 2 = a ab + b 2 (a + b) 1 = a + b (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b 2 + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b a 2 b 3 +5ab 4 + b 5 (a + b) n = ( ) n n–1 ( ) n0n0 a n + ( ) n1n1 a n–1 b ( ) nini a n–i b i +…+ab n–1 + ( ) nnnn bnbn Fórmula del binomio de Newton Los números se llaman coeficientes binomiales. ( ) nini