Octava Sesión Postulados de la Mecánica Cuántica (2) Resolución de la ecuación de Schrödinger en problemas particulares

Resumen Parámetros característicos de las ondasParámetros característicos de las ondas Espectro electromagnéticoEspectro electromagnético Espectros de absorción y de emisión de los átomosEspectros de absorción y de emisión de los átomos Radiación de un cuerpo negroRadiación de un cuerpo negro Efecto fotoeléctrico: fotónEfecto fotoeléctrico: fotón CuantizaciónCuantización

Resumen 2 Modelo Atómico de BohrModelo Atómico de Bohr –Átomos hidrogenoides. –Es un modelo nuclear. –Cuantización del momento angular del electrón. –Cuantización del radio de las órbitas –Cuantización de la energía del electrón. –Niveles de energía. –Energías de ionización. –Transiciones electrónicas. Espectros.

Resumen 3 Antecedentes de la Teoría Cuántica ModernaAntecedentes de la Teoría Cuántica Moderna –Hipótesis de De Broglie –Principio de Incertidumbre de Heisenberg Postulados de la Mecánica CuánticaPostulados de la Mecánica Cuántica –1. Función de onda. –2. Operadores. La ecuación de Schrödinger. –3. Significado físico del cuadrado de la función de onda.

Postulado 3 “El cuadrado de la función de onda está relacionado con la probabilidad de encontrar a las partículas en una cierta región del espacio”.“El cuadrado de la función de onda está relacionado con la probabilidad de encontrar a las partículas en una cierta región del espacio”.

Comentario El cuadrado de la función de onda es una densidad de probabilidad.El cuadrado de la función de onda es una densidad de probabilidad. Por lo tanto la función de onda debe ser:Por lo tanto la función de onda debe ser:  Continua.  Univaluada.  Finita (cuadrado integrable).

Postulado de Born

Resolución de Problemas Particulares 1.Se substituye la masa de la partícula. 2.Se substituye el potencial V para el caso del problema particular. 3.Se resuelve el problema para Ψ y para E.

Resolución de Problemas Particulares (2) En general hay varias funciones Ψ que matemáticamente cumple con ser solución de la ecuación de Schrödinger.En general hay varias funciones Ψ que matemáticamente cumple con ser solución de la ecuación de Schrödinger. Se escogen aquellas que además de cumplir con las restricciones físicas del problema cumplen con:Se escogen aquellas que además de cumplir con las restricciones físicas del problema cumplen con:

Resolución de Problemas Particulares (3) O sea, aquellas que sean:O sea, aquellas que sean: –Continuas. –Univaluadas. –Finitas.

Resolución de Problemas Particulares (4) Con Ψ 2 se pueden encontrar zonas del espacio donde existe mayor probabilidad de encontrar a las partículas.Con Ψ 2 se pueden encontrar zonas del espacio donde existe mayor probabilidad de encontrar a las partículas.

Partícula en un pozo de potencial unidimensional 0a x  V=  V=0

Resumen Ψ(x) = 0 (-  < x < 0) No sabemos (0  x  a) Ψ(x) = 0 (a < x <  )

Gráfica de  (x)  (x) x0a

¿Cuál es la probabilidad de encontrar a la partícula fuera de la caja?

Ψ fuera = 0 Ψ 2 fuera = 0 P fuera = 0

Dentro de la caja

Dentro de la caja (2) Es una constante.Es una constante. Le pongo nombre: - Constante, yo te bautizo como  2.Le pongo nombre: - Constante, yo te bautizo como  2.

Dentro de la caja (3) Debemos resolver esta ecuación diferencial de orden 2.Debemos resolver esta ecuación diferencial de orden 2. O sea, necesitamos encontrar una función que derivada dos veces sea igual a menos  2 por ella misma.O sea, necesitamos encontrar una función que derivada dos veces sea igual a menos  2 por ella misma.

Dentro de la caja (4) Toda ecuación diferencial de orden n tiene n soluciones (linealmente independientes).Toda ecuación diferencial de orden n tiene n soluciones (linealmente independientes). Les propongo estás dos soluciones:Les propongo estás dos soluciones:

Dentro de la caja (5) A ver si es ciertoA ver si es cierto encontramos dos funciones que cumplen con que derivadas dos veces son iguales a -  2 por ellas mismas.

Dentro de la caja (6) Por lo tanto:Por lo tanto:

Dentro de la caja (7) Pero ¿cumplen con ser funciones de onda aceptables?Pero ¿cumplen con ser funciones de onda aceptables? ¿Cumplen con el postulado de Born?¿Cumplen con el postulado de Born? ¿Son continuas, univaluadas y finitas?¿Son continuas, univaluadas y finitas?

Gráfica de  (x)  (x) x0a

¿Cuánto debe valer  (0)?

Ψ(0) = 0 Para que la función sea continua en x = 0

Dentro de la caja (8) Por lo tanto:Por lo tanto:

Función Seno La función seno cumple con ser cero en x=0.La función seno cumple con ser cero en x=0.

Función Coseno La función coseno no cumple con ser cero en x=0. El coseno no es una función de onda aceptable para este problema.

Gráfica de  (x)  (x) x0a

¿Cuánto debe valer  (a)?

Ψ(a) = 0 Para que la función sea continua en x = a

Por lo tanto Le quito el subíndice porque ya solo me quedé con una función

Función Seno ¿Dónde se hace cero la función seno?¿Dónde se hace cero la función seno?

Función Seno ¿Dónde se hace cero la función seno?¿Dónde se hace cero la función seno? En 0 y en múltiplo enteros de .En 0 y en múltiplo enteros de . Por lo tanto, para que la función sea aceptable, su argumento debe cumplir con:Por lo tanto, para que la función sea aceptable, su argumento debe cumplir con:

Despejando la energía La energía de una partícula en un pozo de potencial está cuantizada

Energía de la partícula La energía de una partícula en un pozo de potencial está cuantizada

¿De dónde surgen los números cuánticos? De las restricciones físicas al movimiento de las partículas. (Si fuera matemático diría: -De las condiciones a la frontera de la ecuación diferencial).De las restricciones físicas al movimiento de las partículas. (Si fuera matemático diría: -De las condiciones a la frontera de la ecuación diferencial). Si la partícula se moviera libremente, no habría cuantización.Si la partícula se moviera libremente, no habría cuantización.

Niveles de Energía

Energías positivas porque es pura energía cinética.

El número cuántico también aparece en la función de onda Pues si, porque…

Postulado 1 “Para cada estado de un sistema dinámico de N partículas existe una función de onda Ψ que depende de las coordenadas de las N partículas y del tiempo. Dicha función de onda describe al sistema tan completamente como es posible” Ψ(x 1,y 1,z 1,x 2,y 2,z 2,…,x N,y N,z N,t)

Ahora tenemos que garantizar que

Y, con ayuda de una tabla de integrales:

Los números cuánticos surgen de las restricciones físicas al movimiento. A mayor energía, mayor es el número de nodos en la función de onda. La función de onda no tiene significado físico. Su cuadrado es una densidad de probabilidad.