Un vector fijo es un segmento orientado determinado por dos puntos. Vectores Los vectores que tienen la misma dirección, mismo sentido y mismo módulo se llaman equipolentes. Un vector fijo es un segmento orientado determinado por dos puntos. Dirección: determinada por la recta que contiene al vector y sus paralelas. Sentido: el que va del origen al extremo Módulo: distancia del origen al extremo En todo vector distinguiremos: el módulo, la dirección y el sentido.

Componentes de un vector Se obtienen restando a las coordenadas del extremo del vector las coordenadas de su origen. Si consideramos el vector Coordenadas del origen son A = (1,3) y las del extremo son B = ( 3,5) Componentes:

Si consideramos el vector Coordenadas del origen son C = (3,3) y las del extremo son D = ( 4,4) Componentes:

Si consideramos el vector Coordenadas del origen son G = (3,2) y las del extremo son H = (1,0) Componentes:

Los vectores son equipolentes. Observa que tienen las mismas componentes. ¿Cuáles son? (3,-1)

Módulo de un vector Tomemos por ejemplo el vector Coordenadas del origen son A = (1,1) y las del extremo son B = ( 5,4) Componentes: Las componentes se corresponden con las medidas de los catetos. Por Pitágoras:

Tomemos por ejemplo el vector Coordenadas del origen son E = (2,1) y las del extremo son F = ( 1,4) Componentes: Las componentes se corresponden (con signo positivo) con las medidas de los catetos. Por Pitágoras: En general, dado un vector su módulo será:

Ejemplos 1.-Sean los puntos A ( -1,3), B (3,0), C(2,-2) , D (6,-5). Calcula las componentes, módulos, y representa los vectores

Para que sean equipolentes tendrán que tener las mismas componentes 2.-Dados los puntos A(0,0) B(1,1) C(0,2). Calcula las coordenadas del punto D para que los vectores sean equipolentes. Para que sean equipolentes tendrán que tener las mismas componentes Ahora bien, como (1,1) = D – (0,2) D = (0,2) + (1,1) Las coordenadas finales se obtienen sumando a las iniciales el “camino recorrido” (las componentes) D = (1,3)

Un vector libre es un representante del conjunto de vectores equipolentes a él. A partir de ahora cuando hablemos de vector supondremos que es un vector libre.

Operaciones con vectores Suma Consideremos los vectores

Opuesto de un vector Consideremos el vector su opuesto es Dos vectores opuestos tienen el mismo módulo, misma dirección y sentido contrario.

Resta Consideremos los vectores Directamente:

Ejemplo Calcula la suma y diferencia de los vectores

Suma:

Resta:

Multiplicación de un vector por un número Consideremos el vector Si multiplicas un vector por un número el vector resultante no cambia de dirección, se alarga o encoge si el número es positivo. Si el número es negativo el vector resultante además cambia de sentido.

Efectúa 2 · (6,2) + 3 · (-2,1) = (12,4) + (-6,3) = (6, 7) Efectúa - ( -2,1) – (6,2) = (2, -1) – ( 6,2) = (-4, -3)

Efectúa gráficamente

Efectúa gráficamente

Traslación de un punto mediante un vector

Ejemplo Calcula los puntos que se obtienen trasladando el punto A(-2,0) mediante los vectores: A´= (-2,0) + (0,2) = (-2,2) A´= (-2,0) + (2,0) = (0,0) A´= (-2,0) + (-1,2) = (-3,2) A´= (-2,0) + (3,-1) = (1,-1)

Distancia entre dos puntos Consideramos los puntos A(1,-4) y B(3,-5). La distancia que hay entre ellos es el módulo del vector (3-1, -5-(-4)) = (2,-1)

1.-Calcula el perímetro de un triángulo equilátero que tiene dos vértices situados en los puntos A(0,0) y B(-3,-2) (-3-0,-2-0) = (-3, -2) Perímetro =

2.-Determina el área de un cuadrado si sabes que dos vértices consecutivos son los puntos A(-1,1) y B(3,4) (3- (-1),4-1) = (4, 3) Área = lado · lado = 5 · 5 = 25

3.-Calcula la diagonal del rectángulo ( 6, -4)

Punto medio de un segmento Calculemos M el punto medio del segmento AB siendo A = (-2,3) y B(0,-1) 1º.- Determinaremos el vector 2º.- Determinaremos el vector 3º.- Trasladaremos el punto A mediante el vector

(0 – (-2) , -1 – 3) = (2, -4) M = A+ = (-2,3) + (1,-2) = (-1,1) También se podría calcular M de forma directa:

Sin la fómula: A(-4,5) B(7,6) (7 – (-4) , 6 – 5) = (11, 1) Con la fórmula:

2.-Determina los puntos que dividen al segmento de extremos A(-1,0) y B(2,-3) en tres partes iguales. El punto C se obtiene trasladando el punto A mediante el vector que es la tercera parte del vector (2 – (-1) , -3 – 0) = (3, -3)

El punto D se obtiene trasladando el punto C mediante el vector cuyas componentes son las mismas que las de

De la fórmula deducimos que:

Vectores paralelos Dos vectores son paralelos si tienen la misma dirección En general, dos vectores son paralelos cuando

1.-Determina cuales de los siguientes vectores son paralelos. no es paralelo a ni a ya que y es paralelo a ya que es paralelo a ya que

2.- Comprueba si A(1,2) B(0,0) C(3,5) pueden ser los vértices de un triángulo. No son paralelos por tanto los tres puntos pueden construir un triángulo.

3.- Comprueba si A( -2,0) B(1,1) C(-5,-1) pueden ser los vértices de un triángulo. Son paralelos por tanto los tres puntos están alineados. No pueden construir un triángulo.

(-1,-1) · (2,-2) = -2 + 2= 0 El producto escalar es cero, por tanto son perpendiculares. El triángulo es rectángulo.