UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID D epartamento de Fundamentos del Análisis Económico I Microeconomía Superior I: Tema 3 Rafael Salas octubre de 2004

Resumen... Problemas primal y dual C. de demanda ordinaria C. de demanda compensada F. indirecta de utilidad y F. de gasto Optimización: Dos visiones alternativas de plantear la optimización del consumidor

El problema primal El consumidor maximiza la utilidad U(x)U(x) U satisface los axiomas (1) a (6) Sujeto a la restricción de factibilidad x R+nx R+n y a la restricción presupuestaria n  p i x i ≤ Y i=1 El conjunto de consumo posible es el ortante no negativo. La renta Y>0 es exógena

El problema primal x1x1 x2x2 l x*l x*  Existe una forma equivalente de verlo (más adelante)  El consumidor maximiza su utilidad...  Sujeto al conj. presupuestario Max U(x) sujeto a n  p i x i  Y i=1  Define el problema primal  Solución al problema primal Conjunto presupuestario Conjunto presupuestario incremento preferencias Contornos de la función objetivo

U(x)U(x) El problema primal   U 1 (x  ) =  p 1 U 2 (x  ) =  p 2 … … … U n (x  ) =  p n una ecuación para cada bien i. Si solución esquina x* i =0 sustituir “=“ por “  ” n +  [ Y –  p i x i ] i=1  maximizamos la función objetivo s. a la restricción presupuestaria ...construimos el Lagrangiano l Maximiza  Diferenciamos c.r.a x 1,..., x n e igualamos a 0 Restricción presup. ... y c.r.a  Multiplicador Lagrange Multiplicador Lagrange      l Un sistema de n+1 condiciones de primer orden de tangencia:  * denota valores maximizadores de utilidad n Y   p i x i i=1 n Y =  p i x i i=1 l Si tenemos una solución interior x*  Interpretación n R 

Condiciones de primer orden CPO U i (x  ) p i ——— = — U j (x  ) p j l RMS = precios relativos l si ambos bienes i y j son positivos... U i (x  ) p i ———  — U j (x  ) p j l Si consumo de bien i fuera cero entonces... RMS  precios relativos Solución

La solución... l Resolviendo las CPO del primal, se obtiene un valor de consumo de cada bien maximizador de utilidad... x i * = x i d (p, Y)  * =  *(p, Y ) l...y para el multiplicador de Lagrange l... y para el valor máximo de utilidad, que se conoce como la función indirecta de utilidad : V(p, Y) := max U(x) = U(x*) {  p i x i  Y} l que se conoce como la función de demanda ordinaria o marshalliana del bien i

Teorema: Existencia de funciones de demanda Teorema: Si U(x) es continua, monótona estricta, estrictamente cuasicóncava y doblemente diferenciable, y si la renta y los precios son estrictamente positivos, las funciones de demanda x i * = x i d (p, Y) están bien definidas, son continuas y diferenciables para todo x i * estrictamente positivo. Demostración: Se basa en el teorema de la función implícita: el sistema de n+1 ecuaciones de las CPO interiores tienen una solución, contínua y diferenciable, si el jacobiano es no singular. Si U(x) es estrictamente cuasicóncava y doblemente diferenciable, el jacobiano es no singular, para los precios estrictamente positivos. DetallesDetalles Nota: Este teorema hace referencia a la cualificación técnica de precios estrictamente positivos. Esto asegura que estamos en la región donde la estricta cuasiconcavidad implica que el jacobiano del sistema sea no singular. Si quisieramos ser más generales y analizar situaciones con precios no negativos, deberíamos imponer la propiedad del jacobiano no singular en la función de utilidad, que es una condición sutilmente más restrictiva que la estricta cuasiconcavidad

x1x1 x2x2 El problema dual x*x* l  Existe una forma alternativamente de verlo  el consumidor podría minimizar el gasto...  Sujeto a la restricción de utildad constante  Define el problema dual  Solución al problema dual Min n  pixi pixi i=1 sujeto a U(x)    Conjunto presupuest. Reducción del gasto Contornos de la f. objetivo

Una conexión clara x1x1 x2x2 x* l   Compara el problema primal... ...con el problema dual  Los dos son equivalentes Bajo unas condiciones x1x1 x2x2 l x*

n U(x) +  [ Y –  p i x i ] i=1 n U(x) +  [ Y –  p i x i ] i=1 El primal y el dual… T ienen una simetría interesante Son problemas equivalentes: obtienen la misma x* si elegimos como la restricción del dual la solución del primal (  =U(x*)) y viceversa En ambos casos p está dado y determinan x*. La restricción del primal coincide con la f. objetivo del dual…y viceversa n  p i x i + [  – U(x)] i=1 n  p i x i + [  – U(x)] i=1

  U(x)  U(x) + [  – U(x)] El problema dual    U 1 (x  ) = p 1  U 2 (x  ) = p 2 … … …  U n (x  ) = p n  = U(x  ) Una para cada bien. Si solución esquina x* i =0 sustituir “=“ por “  ” Una para cada bien. Si solución esquina x* i =0 sustituir “=“ por “  ” n  p i x i i=1  minimizamos la función objetivo s. a la restricción ...construimos el Lagrangiano Minimiza  Diferenciamos c.r.a x 1,..., x n e igualamos a 0. l Si tenemos una solución interior: Restricción de utilidad ... Y c.r.a      l Un sistema de n+1 ecuaciones  * denota valores minimizadores del gasto

Mismas condiciones de primer orden U i (x  ) p i ——— = — U j (x  ) p j l RMS = precios relativos l si ambos bienes i y j son positivos... U i (x  ) p i ———  — U j (x  ) p j l Si consumo de bien i fuera cero entonces... RMS  precios relativos Solución

Las n+1 soluciones... l Resolviendo las CPO del dual, se obtiene un valor de consumo de cada bien minimizador del gasto... x i * = x i c (p,  ) * = *(p,  ) l...y para el multiplicador de Lagrange l... y para el valor del mínimo gasto, que se conoce como la función de gasto: e(p,  ) := min  p i x i =  p i x i * l que se conoce como la función de demanda compensada o hicksiana del bien i {U(x)  }

Práctica: (1) Evalúa las funciones de demanda y funciones indirectas de utilidad de:  U=  log(x 1 ) +  log(x 2 ) ,  > 0 Cobb-Douglas SOLSOL  U=   log(x 1 -   ) +   log(x 2 -   ) SOL  1,  2 > 0;  1,  2 ≥ 0; x 1 >  1, x 2 >  2 SOL Sistema lineal de gasto (Stone-Geary). Stone, Economic Journal, 1954  (2) Evalúa las funciones de demanda, indirectas de utilidad y de gasto de:  U=x 1 x 2 SOLSOL  U=min(x 1, x 2 ) SOL SOL  U=x 1 0,5 + x 2 0,5.

Práctica:  (3) Evalúa las funciones de demanda, indirectas de utilidad y de gasto de:  U=x 1  + x 2 ,   1 SOL SOL  U=log x 1 +x 2 SOL SOL  U=x 1 +x 2 0,5  U=x 1 -1/x 2  U=-e -  x -e -  y.

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