La Tierra de las Raíces Unitarias Jesús Gonzalo U. Carlos III de Madrid

Por que nos debemos preocupar por la existencia de raíces unitarias? Crecimiento (check el libro The First Measured Century) Predicción El efecto de un “shock” Regresión espurea Resultados asintóticos Contraste de raices unitarias Problemas de estos contrastes Cambios Estructurales

Algunos graficos: Inflación

Algunos graficos: Producción

Algunos graficos: Indice de un mercado bursatil

Como modelamos crecimiento? La mayoría de las series macroeconómicas, GNP, C, I, etc muestran un crecimiento continuado durante el tiempo. Este comportamiento es imposible de ser recogido con nuestros modelos ARMA estacionarios: t t Como describimos tendencias como la siguiente?

Como modelizamos el Crecimiento? (cont) Dos opciones: Un modelo ARMA estacionario con un componente tendencial deterministico (TS=Trend Stationary) Un proceso con Raiz Unitaria y una deriva (DS=difference stationary) t

1. Componente Tendencial Deterministico 2. Tendencia Estocastica. Proceso de Raiz Unitaria Paseo Aleatorio con deriva

Como relacionamos los procesos 1. y 2. ?

Predicción Tendencia Deterministica (TS):

Predicción (cont) Raiz Unitaria:

Predicción: Ejemplos Error de Predicción (l elementos en la suma)

Predicción: Ejemplos (cont) Ejemplo ARIMA(0,1,1)

El efecto de un shock Shock Transitorio: Shock Permanente: Ejemplos: (1)

El efecto de un shock (cont) Funcion Respuesta a un impulso unitario en el shock de un AR(1) process y t = 0.8 y t-1 +  t

El efecto de un shock (cont)

El efecto de un shock (2) (3)

El efecto de un shock (cont) Q1: Calcular el efecto de un impulso en la perturbación a t en el siguiente modelo TS:

Regresión Espuria Considera dos paseos aletorios independientes: Por construcción no hay ninguna relacion entre las variables x e y. Considera la regresión Q2: Que valores esperas que tomaran las estimaciones de  y  y sobre el R 2 ? La respuesta la semana que viene.

Algunos Resultados Asintóticos Considera el caso de Asintoticamente (CLT) de clases anteriores:

Algunos Resultados Asintóticos (cont) Cuando el resultado asintotico no es valido para realizar inferencias porque Que hacer cuando ?

En resumen, el estadistico tiene una distribucción no-standard conocida como distribucción de Dickey-Fuller que esta dominada por la chi-cuadrado del numerador. Podemos construir un pseudo-t estadistico como

Este pseudo-t test no tiene la distribuccion lilmite Gaussiana usual % Distribucción Dickey-Fuller Distribucción normal. Se rechaza la raiz unitaria demasiadas veces si usasemos la normal.

Algunos Resultados Asintóticos (cont) Las distribuciones asintoticas se pueden escribir de forma mas compacta

Algunos Resultados Asintóticos (cont) donde W(r) es un Movimiento Browniano (vease los applets de esta leccción). Un Movimiento Browniano se define por las siguientes propiedades: W(0)=0 W(t) tiene estacionarios e independientes incrementos y para todo t and s es tal que para t>s tenemos W(t)-W(s) is N(0, (t-s)) W(t) es N(0,t) para cada t W(t) sus trayectorias con continuas.

Contraste de Raices Unitarias (contraste DF ) Problema: Los contrastes de raices unitarias son condicionales a la existencia de regresores deterministicos y vice-versa. Reparametrización del modelo Dickey-Fuller considera tres modelos de regresión diferentes:

Contrastando por Raices Unitarias: DF test En clase se demostrará via simulaciones que: El contraste DF en la RM1 NO es invariante a las condiciones iniciales. El contraste DF en la RM2 NO es invariante a los valores de la deriva. El contraste en la RM3 es invariante a las condiciones iniciales y a la deriva. Diseña una estrategia para contrastar raices unitarias en las dos variables de tu proyecto empirico. En clase se recomendara: RM3 si se rechaza se para, si no se rechaza se contrasta existencia de deriva (regresando (1-L)yt sobre constante). Si existe se para. Si no existe se realiza contraste en RM2.

Contraste de Dickey-Fuller Aumentado Los resultados previos solo son validos cuando el termino error  t es iid. Si este no es el caso, por ejemplo si  t sigue un proceso lineal: entonces se puede probar que podemor re-escribir la regresion del contraste de DF añadiendo retardos de los incrementos de (1-L)y t-1 hasta que el termino de error llega a ser iid. Esto resuelve el problema y la estrategia es la misma que en el caso anterior.

Q3: Piensa en dos formas diferentes de elegir el orden “p” correcto. Q4: Discute brevemente por que tratamos como nula el caso de raíz unitaria (no-estacionareidad) en vez de tratar la nula de estacionareidad. Q5: A partir de ahora vas a oír, leer, muchas veces que los contrastes de raíces unitarias no tienen potencia. Que crees que pasa con los demás contrastes? Algún comentario.

Cambios Estructurales versus raíces unitarias Se discutirá en clase. Unit Roots, Cointegration and Structural Change Una referencia es la Parte IV de “Unit Roots, Cointegration and Structural Change” por Maddala and Kim. Cambridge University Press 1998.