ESTIMADOR DE RAZÓN ESTIMADOR DE RAZÓN R = Y/X Juan Manuel Cellini

ESTIMADOR DE RAZÓN La primera pregunta que surge es: ¿a qué se debe la existencia del estimador de razón? Varios son los motivos de su existencia. Con frecuencia nos encontramos frente a situaciones en las cuales la razón entre un carácter Y y otro carácter X se sabe o presume menos variable que los valores individuales de Y. En estos casos sería mejor estimar R, la razón de Y a X en la población, a partir de una muestra, y multiplicarla por el total conocido de X, para estimar el total de Y. Este procedimiento es llamado Estimación de Razón R = Y/X

El estimador de razón puede ser usado con uno de tres propósitos: estimar la proporción de Y respecto a X; estimar la media poblacional de Y; y estimar el total poblacional de Y. La razón R representa el número medio de unidades de Y por unidad de X. Por ejemplo, si Y es el volumen por parcela y X el área basal por parcela, R =Y/X es el volumen medio por unidad de área basal. Si Y es el número de vacas por lote y X la superficie de cada lote, R = Y/X es el número medio de vacas por unidad de superficie de los lotes.

ESTIMADOR DE RAZÓN ESTIMADORES Si se selecciona una muestra aleatoria, el estimador de R toma la siguiente forma, cualquiera sea su uso final:

La varianza estimada de toma la siguiente forma: ESTIMADOR DE RAZÓN La varianza estimada de toma la siguiente forma: con

El error estándar es la raíz cuadrada ESTIMADOR DE RAZÓN El error estándar es la raíz cuadrada

El intervalo de confianza para una probabilidad p% es: ESTIMADOR DE RAZÓN El intervalo de confianza para una probabilidad p% es: IC (p%) = siendo t la variable “t” de Student con n-1 grados de libertad y probabilidad p%.

ESTIMADOR DE RAZÓN Para estimar un total poblacional, la razón estimada se multiplica por el total de X, que debe conocerse a nivel de población. Los estimadores a usar son: Total estimado de Y es: con error estándar:

ESTIMADOR DE RAZÓN EJEMPLO Estamos interesados en la razón entre dos variables. Nuestro interés es determinar la proporción de árboles enfermos de un rodal. Para su determinación se instala una muestra de parcelas de área conocida y dentro de cada parcela se cuenta: a) el número total de árboles (X), y b) el número total de árboles enfermos (Y); la proporción buscada es la razón estimada entre y y x.

ESTIMADOR DE RAZÓN Las variables X e Y representan el mismo carácter, aunque X representa el valor de Y en un período d tiempo anterior. Supongamos que deseamos estimar el valor actual de los embarques de madera de los establecimientos situados en una región determinada. Para ello seleccionamos una muestra aleatoria de establecimientos, de cuyo conjunto obtenemos la media “y” del valor actual y la media “x” correspondiente a los valores registrados en un censo realizado cinco años atrás, y el valor total registrado en ese censo (X); por lo tanto: Como puede verse, es necesario conocer el verdadero valor de la variable X.

N=(30ha)/(0,025ha/parcela) = 1.200 parcelas Ahora estimamos R: ESTIMADOR DE RAZÓN Un plantador de la zona del Delta de Buenos Aires posee un rodal de álamo de 30 ha afectado por una enfermedad, y desea saber cuál es la proporción de árboles atacados. Para ello selecciona una muestra aleatoria de 10 parcelas rectangulares de 250 m2 cada una, y en cada parcela cuenta el número total de árboles existentes (X) y el número total de árboles enfermos (Y). En la siguiente tabla figuran los resultados por parcela. X 30 16 42 28 46 54 25 32 Y 21 12 34 18 39 10 26 19 x=319 y=227 xy=8.294 x2=11.541 y2=6.003 n=10 N=(30ha)/(0,025ha/parcela) = 1.200 parcelas Ahora estimamos R: = 0,711

ESTIMADOR DE RAZÓN Para estimar el error estándar de “R” deberíamos usar la media poblacional de X, pero como la desconocemos usamos en su lugar la media de la muestra: 31,9. Posteriormente, estimamos primero Su2 y luego el error estándar: = 4,79 = 0,000467 = 0,0216 Intervalo de confianza (95 %): IC (95%) = 0,711  (2) (0,0216) Finalmente, concluimos con una confianza del 95 % que la proporción de árboles enfermos se ubica entre el 67 % y 75 % de todos los árboles.

Li = 25.376 árboles y Ls = 28.660 árboles ESTIMADOR DE RAZÓN Retomemos el ejemplo anterior y supongamos que en las 30 ha existen 38.000 árboles de interés. La pregunta ahora es cuántos árboles cabe esperar que estén enfermos y cuál es el intervalo de confianza de ese total. Total estimado de Y : = 0,711  38.000 = 27.018 árboles Error estándar de “Y” = 0,0216  38.000 = 820,8 árboles I. de Conf. (95%): 27.018  (2) (820,8) = 27.018  1.641,6 Li = 25.376 árboles y Ls = 28.660 árboles

ESTIMADOR DE RAZÓN FIN