UN SISTEMA DE DEDUCCIÓN NATURAL PARA EL CÁLCULO PROPOSICIONAL Dr. Pedro Arturo Ramos Villegas Academia de Filosofía, UACM Colegio de Filosofía, FFyL, UNAM parv@servidor.unam.mx

ANTECEDENTES Una primera versión del sistema de reglas de deducción natural para el cálculo proposicional que presento a continuación fue elaborada por los profesores Raúl Orayen, Arturo Yáñez y yo en la primera mitad de la década de los 90s. Hasta la fecha, no he sabido de alguien más que proponga un sistema similar a aquél. La elaboración de ese sistema obedecía a objetivos pedagógicos y prácticos. El sistema que presento a continuación pretende mejorar el sistema original atendiendo a los mismos objetivos.

OBJETIVOS DEL SISTEMA EN LO PEDAGÓGICO: Está diseñado expresamente para facilitar la enseñanza y el aprendizaje de las reglas del cálculo proposicional, al clasificarlas en cinco grupos atendiendo a sus propiedades lógicas y su utilidad; a diferencia de las presentaciones tradicionales, que las clasifican únicamente en dos grupos, como reglas de implicación y reglas de equivalencia, atendiendo sólo a su forma lógica. EN LO PRÁCTICO: Está diseñado expresamente para facilitar el empleo de las reglas al efectuar deducciones, justo debido a sus ventajas pedagógicas.

VENTAJAS PEDAGÓGICAS DEL SISTEMA El sistema está diseñado expresamente para facilitar la enseñanza y el aprendizaje de la lógica proposicional, debido básicamente a dos aspectos: Debido al modo peculiar en que se expone y contextualiza dentro del sistema cada regla en particular, como ilustraremos a continuación.

VENTAJAS PEDAGÓGICAS DEL SISTEMA 2. Debido a que anexo a cada grupo de reglas se incluyen dos conjuntos de ejercicios. uno, diseñado para el grupo mismo y otro, para la conjunción de ese grupo con los anteriores que ya hayan sido expuestos. De modo que al final de la exposición del sistema el alumno adquiere los siguientes saberes prácticos: Sabe para qué sirve cada regla, en particular, y cómo articular ese saber práctico dentro del manejo del grupo al que la regla pertenece y, más en general, dentro del manejo del sistema en el que ésta se inserta. Es capaz de realizar inferencia con todas las reglas de manera fluida.

ASPECTOS QUE SE CONSIDERAN EN LA EXPOSICIÓN DE CADA REGLA Hay seis aspectos de cada regla que se consideran dentro del sistema. Veamos un ejemplo: Nombre: Doble Negación. Abreviatura: DN. Presentación formal: A  A. Lectura estructural: Una fórmula equivale a su doble negación. Prueba de validez: A A  A v f v vf v fv

ASPECTOS QUE SE CONSIDERAN EN LA EXPOSICIÓN DE CADA REGLA 6. Utilidad: Individual: Permite introducir o eliminar el signo de negación en fórmulas o subfórmulas individuales. Grupal: Misma que anterior, dado que el grupo de reglas al que pertenece incluye una sola regla. Sistémica: Es auxiliar de todas aquellas reglas que incluyen negación.

REGLA AUXILIAR 1. Doble Negación (DN) A  A

I. REGLAS DE IMPLICACIÓN PARA LA CONJUNCIÓN Y LA DISYUNCIÓN 2. Conjunción (Conj) 3. Simplificación (Simp) A A  B B______ / A / A  B 4. Adición (Ad) 5. Silogismo Disyuntivo (SD) A______ A  B / A  B A __ / B

II. REGLAS DE IMPLICACIÓN PARA EL CONDICIONAL 6. Modus Ponens (MP) 7. Modus Tollens (MT) A  B A  B A____ B___ / B / A 8. Silogismo Hipotético (SH) A  B B  C___ / A  C

III. REGLAS DE EQUIVALENCIA PARA LA CONJUNCIÓN Y LA DISYUNCIÓN 9. Conmutación (Conm) 10. Asociación (Asoc) (A  B)  (B  A) [A  (B  C)]  [(A  B)  C] (A  B)  (B  A) [A  (B  C)]  [(A  B)  C] 11. Idempotencia (Idem) 12. Distribución (Dist) A  (A  A) [A  (B  C)]  [(A  B)  (A  C)] A  (A  A) [A  (B  C)]  [(A  B)  (A  C)]

IV. REGLAS DE EQUIVALENCIA PARA EL CONDICIONAL 13. Transposición (Tr) 14. Exportación (Exp) (A  B)  (B  A) (A  B)  C]  [A  (B  C)] 15. Distribución del Condicional (DC) [(A  B)  C)]  [(A  C)  (B  C)] [A  (B  C)]  [(A  B)  (A  C)]

V. REGLAS DE TRADUCCIÓN 16. Leyes de Morgan (de M) 17. Implicación Material(IM) (A  B)  (A  B) (A  B)  (A  B) (A  B)  (A  B) (A  B)  (A  B) 18. Equivalencia Material (EM) 19. Ley Expansiva Fundamental (LEF) (A  B)  [(A  B)  (B  A)] A  [(A  B)  (A  B)] (A  B)  [(A  B)  (A  B)] A  [(A  B)  (A  B)]

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