MATEMÁTICA BÁSICA CERO Sesión N°5 TANTO POR CIENTO Departamento de Ciencias

El Perú vive desde fines de la última década del siglo XX un sostenido crecimiento de la industria de la construcción, impulsado, sobre todo, por el aumento de los ingresos económicos de los hogares.

RESPONDA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS: 1. ¿Cómo representarías una cantidad con respecto a otra? 2. ¿Qué entiendes por TANTO POR CIENTO? 3. ¿El uso de los porcentajes te ayudaría a representar una cantidad con respecto a otra? ¿En que forma? 4. ¿Cuál es la diferencia en que una máquina de producción esté trabajando en un 50% con otra que está trabajando en un 100%?

Si el gráfico nos muestra el crecimiento porcentual en el sector construcción de departamentos a nivel Lima. Determine la variación real (en unidades) en el año 2007, si se sabe que en el 2006 se registró la construcción de 120 000 departamentos

LOGRO DE SESIÓN Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante resuelve ejercicios en los que explica lo que es porcentaje y calcula porcentaje en problemas aplicativos. 5

CONTENIDOS TANTO POR CIENTO PORCENTAJES EQUIVALENCIAS OPERACIONES CON PORCENTAJES VARIACIÓN PORCENTUAL DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS APLICACIÓN COMERCIAL PROBLEMAS REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 6

73 partes tomadas de un todo dividido en 100 partes iguales. 1. TANTO POR CIENTO Se denomina TANTO POR CIENTO al número de partes que se toman en cuenta de una cierta unidad o cantidad que se ha dividido en 100 partes iguales. 73 partes tomadas de un todo dividido en 100 partes iguales. 𝟕𝟑 𝟏𝟎𝟎 = 0.73 7

24 partes tomadas de un todo dividido en 100 partes iguales 1.1 CÁLCULO GRÁFICO DE UN PORCENTAJE 24 partes tomadas de un todo dividido en 100 partes iguales Se lee: 24 por ciento 8

60 partes tomadas de un todo dividido en 100 partes iguales 1.1 CÁLCULO GRÁFICO DE UN PORCENTAJE 60 partes tomadas de un todo dividido en 100 partes iguales 60 100 =60% Se lee: 60 por ciento 9

Ejemplos: El 20% de A: Ejemplo: El 75% de B: El 100% de N: PORCENTAJE: 2. PORCENTAJES PORCENTAJE: Es el resultado de aplicar el tanto por ciento a una cantidad.   Ejemplo: Halle el 35% de 420: Ejemplos: El 20% de A: El 75% de B: El 100% de N: 10

3. EQUIVALENCIAS 50% <> 1/2 <> 0,5 25% <> 1/4 <> 0,25 75% <> 3/4 <> 0,75 10% <> 1/10 <> 0,1 20% <> 1/5 <> 0,2 40% <> 2/5 <> 0,4 100% <> 1 100%N <> N 200% <> 2 500% <> 5 Un tanto por ciento tiene su equivalente con un número racional positivo y viceversa 11

3.1. TABLA DE EQUIVALENCIAS EXISTE UNA RELACIÓN CLARA ENTRE LOS PORCENTAJES, LAS FRACCIONES Y LOS NÚMEROS DECIMALES. Porcentajes Fracciones Decimales Para obtener el número decimal equivalente a un porcentaje se separan con una coma, empezando por la derecha, dos cifras decimales en la cantidad que indica el porcentaje. Número decimal Porcentaje Fracción 65% 0,65 12

a%N + b%N = (a+b)%N 4. OPERACIONES CON PORCENTAJES Ejemplo: 25%M + 37%M = 62%M N + 32%N = 132%N 13

a%N – b%N = (a – b)%N 4. OPERACIONES CON PORCENTAJES Ejemplo: 35%M - 27%M = 8%M N - 12%N = 88%N 14

4. OPERACIONES CON PORCENTAJES a% de N=a% N = a 100 ×N Porcentaje Es el resultado de aplicar el tanto por ciento a una cantidad.   Ejemplo 1: Halle el 35% de 420: 𝟑𝟓 % 𝟒𝟐𝟎 =𝟏𝟒𝟕 Tanto por ciento Porcentaje Ejemplo 2: Halle el 48% de 375: 𝟒𝟖 % 𝟑𝟕𝟓 =𝟏𝟖𝟎 Tanto por ciento Porcentaje 15

Ejemplos: 1) El 3% de 300 = 3%(300) = 4. OPERACIONES CON PORCENTAJES Observación: Las expresiones “de, del, de los” indican producto. Ejemplos: 1) El 3% de 300 = 3%(300) = 2) El 10% del 20% de los 2/5 de 1000 16

5. VARIACIÓN PORCENTUAL Toda variación porcentual, ya sea de aumento o disminución, se hace tomando como referencia un todo (100%) DISMINUCIÓN AUMENTO SI PIERDO O GASTO QUEDA 20% 80% 35% 65% 2,5% 97,5% 2% 98% m% (100 – m)% SI GANO O AGREGO RESULTA 22% 122% 45% 145% 2,3% 102,3% 0,5% 100,5% m% (100 + m)% 17

5.1 EJEMPLO DE VARIACIÓN PORCENTUAL Una persona tenía 240 soles y pierde el 20% de su dinero ¿Cuánto dinero tiene ahora? Si pierde 20% entonces le queda 80% 80% 240 = 80 100 240 =192 𝑠𝑜𝑙𝑒𝑠 El sueldo de Juan es de 3500 soles, si recibe un aumento del 15% ¿Cuál es su nuevo sueldo? Si le aumentan 15% entonces le recibe 115% 115% 3500 = 115 100 3500 =4025 𝑠𝑜𝑙𝑒𝑠 18

Descuentos Sucesivos del a% y b% 6. DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS Descuentos Sucesivos del a% y b% Aumentos Sucesivos del a% y b% 19

6. DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS En la compra de una cámara se hizo dos descuentos sucesivos de 25% y 20%. ¿Cuál es el porcentaje único de descuento equivalente a dichos descuentos? ¿Cuál es el incremento único equivalente a dos incrementos sucesivos de 25% y 20%? 20

7. APLICACIÓN COMERCIAL Precio de Costo (Pc).- Es lo que el comerciante invierte en la adquisición de una mercadería para luego venderla. Precio de Venta (Pv).- Es lo que el cliente paga al comerciante por la compra de la mercadería. Precio de Lista o Fijado (Pf).- Es el valor que pide el comerciante por la mercadería que ofrece. Ganancia (G).- Es la diferencia que se obtiene cuando el precio de venta es mayor que el costo. Pérdida (P).- Es la diferencia que resulta cuando la mercadería se vende a un precio menor que el costo. Descuento (D).-Es el ahorro que obtiene el cliente al comprar la mercadería a un precio menor que el precio de lista. 21

Precio en la fábrica o Mayorista Precio que paga el comprador 7.1. ESQUEMA APLICACIÓN COMERCIAL Precio de lista (PL) + Aumento % - Disminución % Precio en la vitrina Precio de costo (Pc) Precio de venta (Pv) Precio en la fábrica o Mayorista Precio que paga el comprador P=Pérdida G=Ganancia G=Pv-Pc P=Pc-Pv 22

8. PROBLEMA 1 A una conferencia asisten 400 ingenieros y arquitectos, el 75% son hombres y el resto mujeres. Si el 80% de los hombres y el 15% de las mujeres, son ingenieros. ¿Cuántas personas son arquitectos? Solución: Hombres: 75%(400) = 300 Ingenieros: 80%(300) = 240 400 Mujeres: 25% (400) = 100 Ingenieras: 15%(300) = 15 Total de ingenieros : 240 + 15 = 255 Personas que son arquitectos: 400 – 255 = 145 23

PROBLEMA 2 Si a un cuadrado de 100 𝑚 2 de área se le reduce 36 𝑚 2 . ¿Qué porcentaje del perímetro inicial es la diferencia de perímetros? Solución: 100 64 10 8 P1 = 40m P2 = 32m Diferencia = 8m 24

Si el gráfico nos muestra el crecimiento porcentual en el sector construcción de departamentos a nivel Lima. Determine la variación real (en unidades) en el año 2007, si se sabe que en el 2006 se registró la construcción de 120 000 departamentos

Por lo tanto podemos decir que la variación real sería de: Solución: Del gráfico podemos observar que el aumento producido del año 2006 al 2007 es de: 16,6% – 14,8% = 1,8% Por lo tanto podemos decir que la variación real sería de: 1,8%(120 000) = 2160 departamentos

PROBLEMA 3 Un artefacto costó S/. 2 500. Por motivos económicos, su dueño decide venderlo ganando el 5% de su costo, más el 20% de su precio de venta, más S/. 200. ¿A cuánto lo vendió?, ¿A cuánto ascendió su ganancia? Solución: 27

PROBLEMA 4 A qué tasa anual se prestaron 1200 soles, durante 5 años, si se obtuvo una ganancia de 1500 soles? Solución: 28

PROBLEMA 5 Ejemplo 4: Una señorita compra un coche cuyo precio de fábrica es de 8200 euros. A este precio hay que añadirle un16% de IVA (impuesto sobre el valor añadido). ¿Cuál será el precio final del coche? Si el impuesto es del 16%, quiere decir que por cada 100 euros debemos pagar 116. Aplicando la regla de tres simple se tiene: Si por 100 euros pagamos 116 100 116 Por 8200 euros pagaremos x 8200 x Por tanto, tendrá que pagar 9512 euros por el coche. En la práctica Un incremento del 16% equivale a multiplicar por 0,16. La cantidad resultante es el incremento total. Incremento: 8200 · 0,16 = 1312. Se paga: 8200 + 1312 = 9512 euros Directamente. Si se incrementa el 16%, se pagará el 116%. Se pagarán 8200 · 1,16 = 9512 euros 29

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS AURELIO BALDOR. ARITMÉTICA. 2° EDICIÓN. ED. PATRIA. PAG. 532 – 548. SALVADOR TIMOTEO. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO. 1° EDICIÓN. ED. SAN MARCOS. PAG. 627 – 652. SALVADOR TIMOTEO. ARITMÉTICA. 2° EDICIÓN. ED. SAN MARCOS. 30