Sistemas dinamicos Estabilidad

Contenido Conexion entre los valores propios de la matriz de estado y los polos de la funcion de transferencia Estabilidad interna de los sistemas lineales Lyapunov y la estabilidad de sistemas lineales Estabilidad externa de los sistemas lineales

Conexion entre los valores propios de la matriz de estado y los polos de la funcion de transferencia

La matriz de transicion Por definicion la matriz de transicion es Entonces, utiliza la matriz Por lo tanto, cada elemento de la matriz de transicion contendra el polinomio caracteristico en el denominador

Ejemplo Considere la matriz A del sistema masa-resorte -amortiguador: Entonces, polinomio caracteristico de A

La matriz de transicion Volviendo con la matriz de transicion, se tiene entonces, En donde cada elemento de la matriz Adj{sI - A} es de orden menor o igual a n-1 y el escalar det{sI - A} es de orden n. Por lo tanto, cada elemento de esta matriz puede escribirse, Expansion en fracciones parciales

Elementos de la matriz de transicion Al obtener el laplace inverso los elementos de la matriz de transicion toman la forma Los valores s1, s2, …, son también por definición los valores propios λi de A. Se puede concluir que: La matriz de transición de A tiene exponenciales cuyos exponentes están formados por los valores propios de A Los valores propios son también conocidos como los modos caracteristicos del sistema

Descomposicion en los componentes modales Ejemplo: Respuesta impulsiva de un sistema LTI, con λ’s distintos La señal de salida es muy complicada La solucion se puede descomponer en sus componentes modales

Valores propios de la matriz de transicion Sea λi un valor propio de A y vi su respectivo vector propio. Entonces, Demostrar! Es decir, la matriz de transición tiene por vectores propios a vi y por valores propios

Una trayectoria particular Un resultado importante de esto es que la respuesta a entrada cero para una condición inicial x0 correspondiente a un vector propio vi se simplifica a Es decir, sólo el modo λi es excitado y la respuesta tiene la dirección de vi y con una magnitud dada por eλit

Una trayectoria particular Un resultado importante de esto es que la respuesta a entrada cero para una condición inicial x0 correspondiente a un vector propio vi se simplifica a Si los valores propios son complejos y conjugados, éstos tendrán asociados vectores propios complejos y conjugados. En este caso, la condición inicial deberá tomarse como:

Comportamiento de los modos Valor propio correspondiente Parte real negativa Parte real cero Simples o repetidos con ma = mg positiva Re(l) Im(l )

Los modos en el plano complejo Valores propios distintos Estable Inestable Im{l} Re{l} Marginalmente estable Semi-plano izquierdo (LHP) Semi-plano derecho (RHP) Valores propios repetidos Para r raices repetidas del valor de l, k = 0,…, r –1

Impacto de los modos característicos La respuesta de entrada cero consiste de los modos característicos del sistema Sistema estable  modos característicos decaen de manera exponencial y eventualmente se hacen cero

Impacto de los modos característicos Si la entrada tiene la forma de un modo característico, entonces el sistema respondera enérgicamente Si la entrada es muy diferente de los modos característicos, entonces la respuesta sera débil

Impacto de los modos característicos Ejemplo: sistema escalar de primer-orden con el modo característico elt, condiciones iniciales cero, D = 0 Tres casos

Modos no observables El par (A,C) no es observable si y solo si para algún vector propio vk de A se cumple, Prueba: El par (A,C) es no obserbable si existe un estado no observable x*. Entonces Seleccionando el estado inicial

Modos no observables Prueba: Los vectores propios forman un base por lo tanto cualesquier vector x0 ≠ 0 (en particular si x0 es no observable) puede ser generado a partir de Asi, Dado que x0 ≠ 0, entonces algun ak ≠ 0, entonces

Modos no controlables El par (A,B) no es controlable si para algún vector propio wk de AT se cumple, Prueba: El par (A,B) es no controlable si existe un estado no controlable x*. Entonces Seleccionando el estado inicial Se dice que wk es un vector propio por la izquierda de A etc…

La descomposicion canonica y los modos En terminos de los modos, en la descomposicion canonica se tienen entonces: Modos controlables y observables Modos controlables y no observables Modos no controlables y observables Modos no controlables y no observables

La descomposicion canonica y los modos De la figura vemos que solo la parte controlable y observable del sistema determina la matriz transferencia. Unicamente los autovalores de la submatriz correspondiente a los estados del subsistema controlable y observable apareceran como POLOS de la funcion de transferencia

La descomposicion canonica Por lo tanto la representacion en matriz tranferencia (representacion externa) no es necesariamente equivalente a la representacion en espacio de estados ( representacion interna).

La descomposicion canonica El subsistema observable y controlable, tomado como realizacion de la funcion de transferencia del sistema, es una realizacion minima, puesto que no puede obtenerse otra realizacion de orden menor con la misma funcion de tranferencia.

Estabilidad interna de los sistemas lineales

El concepto de estabilidad En general, la estabilidad interna describe las propiedades de convergencia de las trayectorias cercanas a estados de equilibrio del sistema Para sistemas lineales, existe un solo estado de equilibrio aislado : el origen Los estados de equilibrio del sistema x = f(x) a son los puntos xe tales que f(xe) = 0.

El concepto de estabilidad En un estado de equilibrio estable, la presencia de un cambio pequeño en las entradas o condiciones iniciales tendra como resultado pequeñas modificaciones en su respuesta perturbada. Time

El concepto de estabilidad Por otro lado, en un estado de equilibrio inestable cualquier perturbacion, por pequeña que sea, llevara a los estados a alejarse cada vez mas Time

Ejemplo El doble pendulo invertido (sistema no lineal) Eq #1 Eq #2 Eq #3 Eq #4 Estabilidad de los puntos de equilibrio Eq #1 es estable Eq #3 es inestable Eq #2 and #4 son inestables, pero con algunos “modos” estables

Estabilidad interna de sistemas LTI La estabilidad interna es un concepto especial de los sistemas lineales de la forma: Y la definicion de estabilidad interna se hace para cualquier solucion del sistema no forzado

Estabilidad en el sentido de Lyapunov Definicion (Estabilidad en el sentido de Lyapunov). El (punto de equilibrio del) sistema es internamente estable en el sentido de Lyapunov, o simplemente estable, si toda condicion inicial finita origina una trayectoria acotada. para toda solucion x(t), x(0) = x0

Estabilidad Exponencial Definicion (Estabilidad Exponencial). El sistema es exponencialmente estable si existen constantes positivas  y  tales que toda condicion inicial finita origina una trayectoria acotada que ademas tiende al origen cuando para toda solucion x(t), x(0) = x0 Definicion: El sistema es inestable si no es estable

Ejemplo: estabilidad asintotica En las graficas se muestra la dinamica de los estados como campos vectoriales -1 1 -0.5 0.5 x 2 -1 1 -0.5 0.5 x 2

Estabilidad de un punto de equilibrio Asintoticamene estable si todas las condiciones iniciales cercanas convergen al punto de equlilibrio El punto de equilibrio es un atractor Inestable si algunas condiciones iniciales divergen del punto de equilibrio El punto de equilibrio es una fuente Estable si las condiciones iniciales cercanas permanecen cerca del punto de equilibrio El punto de equilibrio es un centro -1 1 -0.5 0.5 5 10 -1 1 -1 1 -0.5 0.5 5 10 -1 1 -1 1 -0.5 0.5 5 10 -1 1

Teorema de la estabilidad interna El sistema es internamente inestable si algun autovalor de A tiene parte real positiva (pertenece al semiplano derecho del plano complejo). Prueba: en este caso, hay un valor propio con el correspondiente vector propio que da respuestas reales Claramente estas soluciones no estan acotadas cuando ya que

Teorema de la estabilidad interna El sistema es asintoticamente estable si y solo si todos los autovalores de A tienen parte real negativa (pertenecen al semiplano izquierdo del plano complejo). Prueba: Si todos los autovalores estan en entonces cualquier solucion sera una combinacion lineal de n funciones vectoriales de la forma Claramente estas soluciones tienden a cero cuando ya que Se dice que la matriz A es Hurwitz si todos sus autovalores tienen parte real negativa

Teorema de la estabilidad interna El sistema estable en el sentido de Lyapunov si y solo si todos los autovalores de A tienen parte real no positiva, y para aquellos con parte real cero (sobre el eje imaginario) su multiplicidad aritmetica es igual a su multiplicidad geometrica. Prueba: Si todos los autovalores tienen parte real cero, y su multiplicidad aritmetica es igual a su multiplicidad geometrica, entonces la solucion tiene la forma De no ser asi, mg < ma, y la solucion tiene la forma Es inestable

Lyapunov y la estabilidad de los sistemas lineales

Análisis basado de la estabilidad en la energía Ejemplo: sistema masa-resorte-amortiguador Energía = Energía cinética + Energía potencial ¿Convergen las trayectorias al punto de equilibrio?

Análisis basado de la estabilidad en la energía Si no existiese amortiguamiento (c = 0), la energía aplicada en t = 0 se conservaría en el sistema ya que no existiría disipación. Como consecuencia del amortiguamiento, la energía se disipa y las trayectorias van pasando por curvas de equi-energía de menor nivel hasta llegar al punto de equilibrio (el origen)

Análisis basado de la estabilidad en la energía Al evaluar la función de energía a lo largo de una trayectoria de sistema, En este caso, la energia decae a cero, y cada variable de estado decae a cero cuanto el tiempo tiende a infinito

Los metodos de Lyapunov Los metodos de Lyapunov permiten determinar la estabilidad de sistemas de ecuaciones diferenciales sin necesidad de calcular explicitamente las soluciones Se basan en las propiedades de una función V(x) (función de Lyapunov ) de los estados del sistema V(x) es una funcion escalar real definida en una región acotada y cerrada en el espacio x que contiene al origen, tal que,

Teoremas de Lyapunov El punto de equilibrio x = 0 del sistema es estable en la región S al rededor del origen si: Existe una fucion V(x) > 0 (definida positiva) en S Con (semidefinida negativa) en S a lo largo de la solucion del sistema El teorema solo da condiciones suficientes de estabilidad y no condiciones necesarias.

Teoremas de Lyapunov El punto de equilibrio x = 0 del sistema es asintoticamente estable en la región S al rededor del origen si: Existe una fucion V(x) > 0 (definida positiva) en S Con (definida negativa) en S a lo largo de la solucion del sistema El teorema solo da condiciones suficientes de estabilidad y no condiciones necesarias.

Matrices definidas positivas Una matriz cuadrada M es definida positiva si Es semidefinida positiva si El escalar xTMx es llamado una forma cuadratica Para todo x ≠ 0 Para todo x ≠ 0

Matrices definidas positivas Una matriz simetrica M = MT es definida positiva si y solo si sus valores propioes λi > 0. (semidefinida ↔ λi ≥ 0) Prueba (→): Sea vi el vector propio para el i-esimo valor propio λi Entonces, lo cual implica λi > 0, Probar que eigenvalues positivos implica que la matriz es definida positiva.

Aplicación a los sistemas lineales Sea un sistema lineal y una matriz definida positiva P, entonces es una funcion de Lypunov

Aplicación a los sistemas lineales Sea un sistema lineal , probemos como funcion de Lypunov , entonces Observamos que es tambien una forma cuadrática en terminos de la matriz simétrica AT+PA. Por lo tanto, una condicion suficiente para estabilidad asintotica es la existencia de una matriz definida positiva P para la cual AT+PA es definida negativa

Teorema de Lyapunov Teorema: Para cualquier matriz definida positiva Q, la ecuacion de Lyapunov Tiene una unica solucion P, simetrica definida positiva, si y solo si todos los valores propios de A tienen parte real estrictamente negativa Prueba: ver texto

Estabilidad externa de los sistemas lineales

Estabilidad de entrada-salida Definicion (Estabilidad de entrada- acotada/salida-acotada (BIBO)) Un sistema (A,B,C,D) es estable BIBO (entrada-acotada/salida-acotada) si toda entrada acotada produce una salida acotada, con condiciones iniciales nulas.

Estabilidad de entrada-salida Teorema: El sistema (A,B,C,D) es BIBO estable si y solamente si la respuesta impulsiva h(t) = CeAtB+ Dδ(t) satisface Prueba: Sea la entrada u(t) acotada, |u(t)| ≤ k1 < ,  t ≥ 0. Entonces

Estabilidad de entrada-salida Teorema: El sistema (A,B,C,D) es BIBO estable si y solamente si la respuesta impulsiva h(t) = CeAtB+ Dδ(t) satisface Prueba: Suponga que h(t) no es absolutamente integrable. Entonces, para un sistema causal, LTI, con u(t) = k1 > 0 and h(t) > 0, t ≥ 0, t  , y(t) no es acotada aunque u(t) sea acotada

Funcion de transferencia Teorema: un sistema dinámico LTI SISO es BIBO estable si y solamente si cada polo de su funcion de transferencia H(s) esta colocado sobre el semiplano izquierdo del plano s Prueba: Sea H(s) una funcion racional propia de s, entonces cada polo localizado en s = - pi, pi > 0, tiene multiplicidad ni, tal que Absolutamente integrable

Relaciones entre estabilidad externa e interna Evidentemente, cada polo de H(s) es un valor propio de A. Por lo tanto, si cada valor propio de A tiene parte real negativa, entonces todos los polos de H(s) estan en el semiplano izquierdo del plano s. Por lo tanto el sistema descrito por A es BIBO estable. Sin embargo, no todo autovalor de A aparecera como polo de H(s), ya que puede haber modos no observables o no controlables

Ejemplo Considere el sistema El sistema es internamente inestable a causa del valor propio en  = 1!

Ejemplo Considere el sistema BIBO estable Cancelacion de polos y ceros en el calculo de la funcion de transferencia La respuesta impulsiva es BIBO estable

Fuentes A. D. Lewis, A Mathematical Approach to Classical Control, 2003, on line acces http://www.mast.queensu.ca/~andrew/teaching/math332/notes.shtml Robert L., Williams, Douglas A. Lawrence “Linear State-Space Control Systems”, Wiley, 2007 Marino and Tomei, “Nonlinear Control Design: Geometric, Adaptive, & Robust”, Prentice-Hall, 1995.

FIN