Métodos de Análisis Ingenieril Ecuaciones Algebraicas Lineales M.C. Fco. Javier de la Garza S. Cuerpo Académico Sistemas Integrados de Manufactura Gama.fime.uanl.mx/~jdelagar fime_tareas@yahoo.com

Capítulo 9 Eliminación de Gauss

Ecuaciones Algebraicas Lineales Una ecuación de la forma ax+by+c=0 ó su equivalente ax+by=-c se le llama ecuación lineal en las variables x y y. ax+by+cz=d es una ecuación lineal en tres variables x, y y z. Una ecuación lineal de n variables se representa como a1x1+a2x2+ … +anxn = b La solución de esta ecuación consiste de los números reales c1, c2, c3, … , cn. Si se requiere trabajar con más de una ecuación lineal entonces se debe resolver un sistema de ecuaciones lineales simultaneas.

Métodos para la Solución de Sistemas de Ecuaciones sin Computadora Para un número pequeño de ecuaciones (n ≤ 3) las ecuaciones lineales pueden solucionarse con técnicas simples. El álgebra lineal brinda las herramientas para resolver este tipo de sistemas de ecuaciones lineales. En la actualidad las computadoras permiten la solución de grandes conjuntos de ecuaciones lineales.

Solución de un Número Pequeño de Ecuaciones Eliminación de Gauss Solución de un Número Pequeño de Ecuaciones Existen muchas formas de solucionar un sistema de ecuaciones lineales: Método Gráfico Regla de Cramer Método de Eliminación Métodos por Computadora Para n ≤ 3

Métodos Gráficos Para dos ecuaciones: Resolver ambas ecuaciones para x2:

Graficar x2 vs. x1, la intersección de las líneas es la solución.

Métodos Gráficos O igualar para solucionar por x1

Sistema mal condicionado. Sin solución Solución infinita Sistema mal condicionado. Pendientes muy cercanas

Determinantes y la Regla de Cramer El determinante se puede ilustrar mediante el conjunto de tres ecuaciones: Donde A es la matriz de coeficientes:

Si se supone que todas las matrices son cuadradas, hay un número asociado con cada matriz A llamado determinante D (D=det (A)). Si [A] es de primer orden, entonces [A] tiene un elemento: A=[a11] D=a11 Para una matriz de 2° orden, A= el determinante es D= a11 a22-a21 a12 a11 a12 a21 a22

Para una matriz de 3er orden:

La regla de Cramer expresa la solución de un sistema de ecuaciones lineales como una fracción de dos determinantes con denominador D:

Método de Eliminación La estrategia básica es solucionar una de las ecuaciones para una de las incógnitas y eliminar esa variables en las ecuaciones restantes por substitución. La eliminación de incógnitas puede extenderse a sistemas con más de 2 ó 3 ecuaciones, sin embargo, este método se vuelve muy tedioso para realizarse a mano.

Eliminación de Gauss Simple Extensión del método de eliminación para grandes sistemas de ecuaciones desarrollando un esquema sistemático o algorítmico para eliminar incógnitas y sustituir hacia atrás. Como en el caso de dos ecuaciones, la técnica para n ecuaciones consiste en dos fases: Eliminación de incógnitas Sustitución hacia atrás.

Desventajas de los Métodos de Eliminación División entre cero. Es posible que en las fases de eliminación y sustitución hacia atrás ocurra una división entre cero. Errores de Redondeo. Existen debido al uso de un número limitado de decimales. Sistemas mal condicionados. Sistemas en los que pequeños cambios en los coeficientes generan grandes cambios en la solución. Esto debido a que dos o más ecuaciones son similares y un amplio rango de resultados puede satisfacer las ecuaciones en forma aproximada. Los errores por redondeo pueden inducir pequeños cambios en los coeficientes, estos cambios pueden generar grandes errores en su solución.

Sistemas Singulares. Cuando dos ecuaciones son idénticas se pierde un grado de libertad y se daría un caso imposible de n-1 ecuaciones con n incógnitas. Tales casos podrían no ser obvios cuando se tienen grandes conjuntos de ecuaciones. El hecho de que el determinante de un sistema singular es cero puede usarse en un algoritmo después de la etapa de eliminación. Si se crea un elemento diagonal en cero, se termina el cálculo.

Técnicas para mejorar las soluciones Uso de más cifras significativas. Pivoteo. Cuando un elemento pivote es cero, la normalización origina una división entre cero. También surge el problema cuando el elemento pivote es cercano a cero. Se puede evitar: Pivoteo parcial. Cambiar las filas para que el elemento mayor sea el pivote. Pivoteo total. Buscar el mayor elemento en filas y columnas y entonces cambiar.

Gauss-Jordan Es una variante de la eliminación de Gauss. Las principales diferencias son: Cuando una incógnita se elimina, ésta es eliminada de todas las ecuaciones en lugar de hacerlo sólo en las subsecuentes. Todas las filas se normalizan al dividirlas entre su elemento pivote. El paso de eliminación genera una matriz de identidad. En consecuencia, no es necesario usar la solución hacia atrás para obtener la solución.