Campus Estado de México—Raúl Monroy Resolución, la regla de inferencia y el cálculo Raúl Monroy

Campus Estado de México—Raúl Monroy Sistema de inferencia con “sólo” una regla: Modus Ponens y Modus Tollens son casos especiales de resolución –Cuidado: nunca resolver sobre proposiciones distintas simultáneamente Una deducción por resolución de P, dado , es una secuencia de cláusulas i) rematada con P y ii) donde cada miembro está en  o es resultado de aplicar resolución a 2 cláusulas que aparecen antes en la secuencia Resolución: la regla de inferencia

Campus Estado de México—Raúl Monroy Idea básica: Si, dado un conjunto de premisas, , se desea mostrar la proposición, P, entonces añade a  la negación de P y busca una refutación; i.e., muestra que  {¬P} es inconsistente Restricción: Aplica sólo a términos de primer orden en forma clausular Resolución: el método

Campus Estado de México—Raúl Monroy Un conjunto de fórmulas se encuentra en forma clausular sii cada fórmula es una cláusula Una cláusula es una disyunción de literales Una literal es una constante objeto o la negación de una constante objeto –N.B. use un procedimiento de normalización Forma normal clausular (CF)

Campus Estado de México—Raúl Monroy Lema: El procedimiento de forma normal conjuntiva, aplicado a una fórmula, termina produciendo otra, equivalente, en forma normal conjuntiva Forma normal conjuntiva (CNF)

Campus Estado de México—Raúl Monroy Romper la conjunción de cláusulas en cláusulas independientes: Lema : El proceso forma clausular, aplicado a una fórmula en forma normal conjuntiva, termina produciendo otra en forma clausular Forma clausular

Campus Estado de México—Raúl Monroy Proposición 1: El método de resolución es correcto Si existe una deducción resolución de P a partir de , entonces  |= P –Demostración: por inducción en la longitud de la deducción resolución Propiedades del método de resolución

Campus Estado de México—Raúl Monroy Lema: Si la cláusula C = C 1 \{L}  C 2 \{  L} que resulta de una aplicación de la regla de resolución es falsa bajo una evaluación E, entonces la conjunción de las hipótesis de la regla, C 1  C 2, es falsa bajo E. Corolario: si podemos derivar  usando resolución, entonces las premisas implican lógicamente  y por lo tanto no pueden satisfacerse.

Campus Estado de México—Raúl Monroy Proposición 2: El método de resolución es completo Teorema: Si  no puede satisfacerse, hay una deducción por resolución de {} (=  )

Campus Estado de México—Raúl Monroy Demostración de Proposición 2 El caso en que  está en  es simple; el otro caso se deriva del siguiente Proposición: Si  no puede satisfacerse, y tiene k literales en exceso, entonces hay una deducción por resolución de {} (=  ) exceso(C) = –0 si |C| < 1 –|C| - 1si |C| > 1 exceso =  exceso(C i )

Campus Estado de México—Raúl Monroy Base: k = 0, simple, no hay cláusulas no- unitarias Inductivo: k > 0, la hipótesis se cumple para cualquier  ’, que no puede satisfacerse, con menos de k literales exceso, demuestre el resultado para  con k literales exceso (NB no olvide que  no puede satisfacerse)

Campus Estado de México—Raúl Monroy Semántica: La semántica de una lógica es una definición de la veracidad de las oraciones en un lenguaje de la lógica en términos de una interpretación Lógica de proposiciones: Semántica

Campus Estado de México—Raúl Monroy Una interpretación, I, para un lenguaje, L, es una definición de cada uno de los símbolos no lógicos de L en términos de algún dominio, v.gr.: S ={b,p,q}; D={ ⊺,  }; I (b)= , I (p)= , I (q)= ⊺ Interpretación

Campus Estado de México—Raúl Monroy Una interpretación, I, para un lenguaje, L, satisface o es modelo de una oración, P, si P es verdadera en I. En símbolos, Sean P y  una oración y un conjunto de oraciones, P es una consecuencia lógica de  sii cada interpretación que es modelo de todas las oraciones en  también es un modelo de P. En símbolos, Modelo y consecuencia lógica

Campus Estado de México—Raúl Monroy La semántica de la lógica proposicional es una definición de la veracidad de una oración con respecto a una interpretación: I (  P) = ⊺ sii I (P) =  I (P 1  P 2 ) = ⊺ sii I (P 1 ) = ⊺ y I (P 2 ) = ⊺ I (P 1  P 2 ) = ⊺ sii I (P 1 ) = ⊺ o I (P 2 ) = ⊺ I (P 1  P 2 ) = ⊺ sii I (P 1 ) =  o I (P 2 ) = ⊺ I (P 1  P 2 ) = ⊺ sii I (P 1 ) es equivalente a I (P 2 ) Semántica de la lógica de proposiciones

Campus Estado de México—Raúl Monroy P es universalmente válida, o tautológica, si es verdadera en cualquier interpretación: Si por el contrario P es falsa en toda interpretación, decimos que es una contradiccion

Campus Estado de México—Raúl Monroy Una teoría es un conjunto de oraciones el cual está cerrado bajo consecuencia lógica. Una teoría, , es completa sii, para cada oración, P, P o bien  P es miembro de  Una teoría, , es inconsistente sii, para alguna oración P, – y – Teoría

Campus Estado de México—Raúl Monroy Satisfacción e inferencia están relacionadas por dos propiedades: –Corrección: –Calidad de cobertura: Corrección y calidad de cobertura no son conceptos cuyo sentido es absoluto en Lógica Enfoque sintáctico versus enfoque semántico

Campus Estado de México—Raúl Monroy Algunos cálculos son menos estructurados que otros Cálculos estructurados permiten la construcción de procedimientos de demostración, algunos de los cuales a su vez permiten construir un procedimiento de decisión Lógica de proposiciones es soluble Conclusiones