hacia la expresión del binomio de Newton. Productos Notables: hacia la expresión del binomio de Newton. Justificaciones geométricas de (a+b)2 (a+b)3 y partiendo de (a+b)1 Alberto Rojas Hernández y Ricardo Ramírez Martínez Trimestre 05P Mayo de 2005
¿Cuánto es (a+b)? a b
Las longitudes se suman b La longitud del segmento de recta grande es: l = (a+b) = (a+b)1
¿Cuánto es (a+b)2? a (a+b) b a b (a+b) El área del cuadrado grande (Acg) es: Acg = (a+b)(a+b) = (a+b)2
Elementos del cuadrado grande b b a a El cuadrado grande tiene cuatro elementos: un cuadrado pequeño de lado a dos rectángulos de altura b y base a (o viceversa) un cuadrado mediano de lado b b b
Área de cada elemento del cuadrado grande b a b b b a Acm = b2 Arv = ab Acp = a2 Arh = ba
Las áreas se suman Por lo tanto: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 Como las áreas se suman, el área del cuadrado grande es la suma de cada una de las áreas de sus elementos constituyentes. Así: Acg = (a+b)2 = = Acp + Arv + Arh + Acm = a2 + ab + ba + b2 = = a2 + 2ab + b2 Por lo tanto: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
¿Cuánto es (a+b)3? a (a+b) b b (a+b) a a b (a+b) El volumen del cubo grande (VCG) es: VCG = (a+b)(a+b) (a+b) = (a+b)3
Elementos del cubo grande El cubo grande tiene ocho elementos: un cubo pequeño de lado a un cubo mediano de lado b tres primsas cuadrangulares de altura b y área de base a2 tres prismas cuadrangulares de altura a y área de la base b2 b b b
Volumen de cada uno de los diferentes tipos de elemento del cubo grande cubo pequeño: VCP = a3 cubo mediano: VCM = b3 primsa cuadrangular alto: VPA = a2b prisma cuadrangular bajo: VPB = b2a b b b
Suma de volúmnes de los ocho elementos del cubo grande 3b2a a3 3a2b b3
Las volúmenes se suman Por lo tanto: (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Como los volúmenes se suman, el volumen del cuadrado grande es la suma de cada uno de los volúmenes de sus elementos constituyentes. Así: VCG = (a+b)3 = = VCP + 3VPA + 3VPB + VCM = = a3 + 3a2b + 3b2a + b3 Por lo tanto: (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Para terminar, una pregunta: ¿Cuánto es (a+b)n? siendo n Sugerencia: revisar el material que se encuentra en la página http://docencia.izt.uam.mx/cbicc/otro_material/BinNewton.pdf