SOLUCION PARCIAL 1 G9NL 17

1. Concepto de carga y cálculo de campo eléctrico

Se tiene un protón en el centro de un cubo de 1 cm de arista. a Se tiene un protón en el centro de un cubo de 1 cm de arista. a. Calcule la intensidad del campo eléctrico, en N/C o V/m, en uno de sus vértices. Corte transversal 1 cm

𝑟= 1 2 √3 r 1 cm Ε= 𝒦 𝑒 𝑞 𝑥 2 Ε= 8,99𝑥 10 9 𝑁 𝑚 2 𝐶 2 (1,60x 10 −19 C) 3 400 𝑚 2 E = 1,91𝑥 10 −7 𝑁/𝐶 2

b. Calcule el potencial eléctrico en el mismo punto. 𝑉 𝑝 = 𝒦 𝑒 𝑞 𝑟 𝑉 𝑝 = 8,99𝑥 10 9 𝑁 𝑚 2 𝐶 2 (1,60x 10 −19 C) 3 200 𝑚 𝑉 𝑝 = 1,66𝑥 10 −7 𝑁𝑚/𝐶 𝑉 𝑝 = 1,66𝑥 10 −7 𝑉

c. Cuántos electrones hay en un Coulomb ? La unidad de carga más pequeña conocida en la naturaleza es la carga de un electrón o protón, el cual tiene un valor absoluto de |e| = 1,602 19 x 10 −19 C. Por lo tanto, 1 C de carga es aproximadamente igual a la carga de 6,24 x 10 18 electrones o protones. 1 e 1,602 19 x 10 −19 C x 1 C X = 6,24 x 10 18 electrones

d. Cuántos protones pesarían un nano-gramo ? 1,64 𝑥 10 −14 𝑛𝑔 𝐹 Protón e+ Masa = 1,67 𝑥 10 −27 𝐾𝑔 Peso = 1,67 𝑥 10 −27 𝐾𝑔 ∗(9,8 𝑚/ 𝑠 2 ) = 1,64 𝑥 10 −26 𝐾𝑔 𝐹 = 1,64 𝑥 10 −14 𝑛𝑔 𝐹 𝑥 1𝑛𝐹 X = 1𝑒+𝑛𝑓 1,64 𝑥 10 −14 𝑛𝑔 𝐹 =6𝑥 10 13 𝑒+

e. Calcule el campo eléctrico, en V/m, que hay entre dos placas metálicas separadas por un dieléctrico de 1 cm de grosor y conectadas a una batería de 12 Voltios DC. Suponiendo que el campo eléctrico entre las placas es uniforme, y que la distancia de separación proporcionada por el dialectico son significativamente pequeños en comparación con el área de las placas. 𝐸= | 𝑉 𝐵 − 𝑉 𝐴 | 𝑑 12 V 𝐸= 12𝑉 0,01𝑚 =1200𝑉/𝑚

2. Pregunta relacionada con la Ley de Gauss

a. A partir de la Ley de Gauss calcule la intensidad del campo eléctrico, en N/C o V/m, en la superficie de una esfera de radio R=1 cm producido por una carga de 1 Coulomb situada en su centro Φ 𝐸 = 𝐸 . 𝑑𝐴= E 𝑛 dA Considerando que el campo eléctrico sobre una espera es constante , el cual se encuentra definido por la expresión: Ε= 𝓀 𝑒 𝑞 𝑥 2 𝑟 Las líneas de campo apuntan radialmente hacia afuera y por ello son perpendiculares a la superficie en cada punto de la misma. Figura 2.1

Por lo anterior las siguiente expresiones son equivalentes. Sabiendo que el flujo neto a través de esta superficie es: Φ 𝐸 = 𝑞 ϵ 𝑜 Φ 𝐸 = 𝑬 . 𝑑𝐴= Ε dA=Ε 𝑑𝐴= 𝐸(4𝜋 𝑟 2 ) = 𝑞 ϵ 𝑜 𝐸= 𝑞 4𝜋 𝑟 2 ϵ 𝑜 = 𝓀 𝑒 𝑞 𝑥 2 𝐸= 𝑞 4𝜋 𝑟 2 ϵ 𝑜 =8,99 𝑥 10 9 𝑁𝑚/ 𝐶 2 1𝐶 1𝑥10 −4 𝑚 = 8,99 𝑥 10 13 𝑁/𝐶

b. Calcule el flujo de campo eléctrico a través del total de dicha superficie Por lo anterior las siguiente expresiones son equivalentes. Ε . Δ 𝜜 𝑖 =𝐸 Δ 𝛢 𝑖 Tenemos que el flujo neto a través de la superficie gaussiana es Podemos sacar Ε por simetría y dado que el campo es constante sobre la superficie. Φ 𝐸 = 𝑬 . 𝑑𝐴= Ε dA=Ε 𝑑𝐴

Φ 𝐸 = 𝑞 ϵ 𝑜 Como la superficie es esférica Finalmente Recordando que 𝓀 𝑒 = 1 4𝜋 ϵ 𝑜 Φ 𝐸 = 𝑞 ϵ 𝑜 𝑑𝐴=4𝜋 𝑟 2 Φ 𝐸 = 𝓀 𝑒 𝑞 𝑟 2 (4𝜋 𝑟 2 )= 4𝜋 𝓀 𝑒 𝑞

c. si un protón está situado en el centro de un cubo, calcule el flujo de campo eléctrico a través de una de sus caras. Figura 2.1

Encerramos nuestra carga en una superficie gaussiana, en este caso una esfera. Sabemos que Φ 𝐸 para esta superficie es igual a: Φ 𝐸 = 𝑞 ϵ 𝑜 Suponiendo que el numero de líneas de campo que atraviesan la superficie gaussiana son las misma que atraviesan el cubo, podemos pensar que el flujo a través de una de las caras del cubo es: Φ 𝐸 = 𝑞 6ϵ 𝑜 Figura 2.2

Hay ocho electrones, uno en cada vértice de un cubo de 10 Ǻ, Amstrongs, de arista calcule el campo eléctrico en el centro del cubo. y 𝜃 𝜃 r r 5Ǻ 10 Ǻ r r 𝜃 𝜃 x 10 2 Ǻ 10 Ǻ r = 10 2 3 Ǻ Figura 2.3 Figura 2.4

Al hacer un análisis a las líneas de campo eléctrico y aplicando el principio de superposición, podemos observar el campo es resultante es 0 debido a la alta simetría de la distribución de cargas. Al realizar un segundo corte transversal al solido de la figura 2.3 para tener en cuenta las 4 cargas restantes se obtiene la misma configuración descrita en la figura 2.3 . Finalmente al realizar la suma vectorial de las líneas de campo obtenemos 0.

4. Pregunta relacionada con la Ley de Lorentz (encierre la respuesta correcta) Provenientes del Sol a medio día impacta perpendicularmente en Colombia un chorro de protones y electrones

Los protones se desvían hacia el norte, sur, oriente ú occidente Los electrones se desvían hacia el norte, sur, oriente ú occidente Explique (mencione la ley involucrada)

Una carga que se mueve a una velocidad v en presencia de un tanto de un campo eléctrico E como de un campo magnético B experimenta tanto una fuerza eléctrica qE como una fuerza magnética qV x B. La fuerza total (llamada fuerza de Lorentz) que actúa sobre la carga es 𝑭=𝑞𝑬+𝑞𝑽 𝑥 𝑩 El producto cruz obtenido entre el vector velocidad y el vector campo magnético, es perpendicular a ambos

e- e+ occidente Si q es negativa, la fuerza resultante la dirige hacia el occidente. Si q es positiva, la fuerza resultante la dirige hacia el oriente. oriente v B

5. Marque la respuesta correcta, la Ley de Ampere relaciona:

a. Campo eléctrico y área b. Corriente eléctrica y campo magnético Ver video a. Campo eléctrico y área b. Corriente eléctrica y campo magnético c. Campo magnético y campo eléctrico d. Campo magnético y área

6. Una varilla metálica de 1 metro de longitud, 5 cm2 de sección transversal y 3 ohmios, sus extremos se conectan a los bornes de una batería de carro de 12 VDC

a. Cuál es la corriente, en A, que circula por ella? 𝑟=3Ω 5 cm2 1 m POR LEY DE OHM TENEMOS QUE: 12 V 𝐼= 𝑉 𝑅 = 12𝑉 3Ω =4𝐴

b. Cuál es el campo magnético que se detecta a 50 cm de distancia de la varilla A partir de la ley de Biot-Savat , se espera que la magnitud del campo sea proporcional a la corriente en el alambre, e inversamente proporcional a las distancia de separación r desde el alambre al punto en cuestión.

|𝑑𝑠| = 𝑑𝑥 0,5 𝑚 𝑟 𝑑𝒔 𝑥 I

0,5 𝑚 𝜃1 𝜃2 𝑡𝑎𝑛𝜃1= 0,5 0,5 =1 𝜃1= atan 1 =45° 1𝑚 𝜃2=180° −45°=135° μ 0 =4𝜋𝑥 10 −7 𝑇𝑚/𝐴 𝐼=4𝐴 𝑟=0,5𝑚 𝐵= μ 0 𝐼 4𝜋𝑟 θ1 θ2 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝜃= μ 0 𝐼 4𝜋𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃1 −𝑐𝑜𝑠𝜃2 𝐵= 4𝜋𝑥 10 −7 𝑇𝑚/𝐴 (4𝐴) 4𝜋(0,5𝑚) 𝑐𝑜𝑠45° −𝑐𝑜𝑠135° =1,13𝑥 10 −6 𝑇

c. Cuál es la resistividad, en Ω·m, de la varilla? El inverso de la conductividad es la resistividad 𝜌 𝜌= 1 σ Usando esta definición y la relación 𝑅≡ ℓ 𝜎𝐴 ≡ Δ𝑉 𝐼 𝑅=𝜌 ℓ 𝐴 𝑅𝐴 ℓ =𝜌 𝜌 = 3Ω(5𝑥 10 −4 𝑚 2 ) 1𝑚 =3𝑥 10 −4 𝑚 Ω

FIN