Formulas relacionando los elementos de un triángulo esférico [Tema 2]

2.1 Fórmulas que relacionan 3 lados y 1 ángulo. Fórmula de los cosenos: CP ┴ suelo PM ┴ OB, PD ┴ OA EP | | KM Los ángulos diedricos son : B y A. ^ EDP = c (por “perp. / perp”)

Se cumple que: OM = OK + KM = OK + EP (1) Además: OM = OC cos a (2) OK = OD cos c OD = OC cos b → OK = OC cos c cos b (3)

PD = CD cos A → EP = OC sin b sin c cos A (4) CD = OC sin b EP = PD sin c PD = CD cos A → EP = OC sin b sin c cos A (4) CD = OC sin b (2), (3), (4) → (1) OC cos a = OC cos b cos c + OC sin b sin c cos A cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A Fórmulas que relacionan 3 lados y un ángulo : cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A cos b = cos c cos a + sin c sin a cos B cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C

2.2 Fórmulas que relacionan dos lados y sus ángulos opuestos . Fórmula de los senos: CP ┴ suelo PM ┴ OB, PD ┴ OA CP = CM sin B CM = OC sin A → CP = OC sin A sin B (1) CP = CD sin A CD = OC sin b → CP = OC sin b sin A (2)

(1) = (2) sin a sin B = sin b sin A

2.3 Fórmulas que relacionan dos lados, ángulo entre ellos y ángulo opuesto (a uno de ellos) DK = DE + EK = DE + PM (1) DK = OD sin c OD = CD ctg b → DK = CD ctg b sin c (2)

ctg b sin c = cos c cos A + sin A ctg B ED = DP cos c DP = CD cos A → ED = CD cos c cos A (3) PM = CP ctg B CP = CD sin A → PM = CD sin A ctg B (4) (2) , (3) , (4) → (1) ctg b sin c = cos c cos A + sin A ctg B

ctg b sin c = cos c cos A + sin A ctg B Fórmulas que relacionan dos lados, ángulo entre ellos y ángulo opuesto (a uno de ellos) ctg b sin c = cos c cos A + sin A ctg B ctg b sin a = cos a cos C + sin C ctg B ctg a sin b = cos b cos C + sin C ctg A ctg a sin c = cos c cos B + sin B ctg A ctg c sin a = cos a cos B + sin B ctg C ctg c sin b = cos b cos A + sin A ctg C “Cotangente de 1er lado” X “seno del 2º lado” = “coseno del 2º lado” X “coseno del ángulo entre ellos” + “seno del ángulo entre ellos” X “cotangente del lado opuesto al 1er lado”.

ctg a sin c = cos c cos B + sin B ctg A “Cotangente de 1er lado” X “seno del 2º lado” = “coseno del 2º lado” X “coseno del ángulo entre ellos” + “seno del ángulo entre ellos” X “cotangente del lado opuesto al 1er lado”. ctg a sin c = cos c cos B + sin B ctg A

→ 2.4. Fórmulas que relacionan tres ángulos y un lado Tomamos el tringulo polar de Δ ABC, o sea, Δ A’B’C: y las fórmulas que relacionan tres lados y un ángulo en Δ ABC: cos a’ = cos b’ cos c’ + sin b’ sin c’ cos A’ → cos (180-A) = cos (180-B) cos (180-C) + sin (180-B) sin (180-C) cos (180-a) → - cos A = (-cos B) . (-cos C) + sin B . sin C . (-cos a)

Fórmulas que relacionan tres ángulos y un lado cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a cos B = - cos C cos A + sin C sin A cos b cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos c El coseno de un ángulo es igual a menos el producto de los cosenos de los otros dos mas el producto de los senos de esos dos por el coseno del lado (opuesto al ángulo 1º).