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Análisis Multicriterio Introducción En la realidad económica es difícil que apareza un único objetivo. Los objetivos suelen estar en conflicto. El problema multicriterio: un proceso de toma de decisión con dos agentes: El decisor. El modelizador o analista. Caso continuo: problema de Programación Multiobjetivo. 2

Análisis multicriterio 3 Su solución es (2, 2), con un valor de F(2, 2) = 4 Su solución es (1, 2), con un valor de G(1, 2) =1 Ejemplo

Análisis Multicriterio 4 Gráficamente: Observamos que los óptimos no coinciden. Como es un problema lineal, la solución podrá estar en alguno de los cuatro vértices: (1, 0), (2, 0), (1, 2) ó (2, 2) o en alguna de las aristas que los unen.

Análisis Multicriterio Si llamamos H = (F, G), obtenemos: 5 Tenemos que realizar una comparación entre vectores. Orden de Pareto: un vector es preferido si su imagen mejora todas las coordenadas de otro y alguna de manera estricta. Según esto: Observamos que (1, 0) y (2, 0) están dominados. En cambio, los puntos (1, 2) y (2,2) no son comparables.

Análisis Multicriterio 6 Donde la función objetivo es vectorial (lineal), X es el conjunto de oportunidades (o espacio de decisión), definido por restricciones lineales y x son los puntos admisibles. Llamaremos Y = F(X) al espacio de objetivos, que es donde se comparan los puntos.

Análisis Multicriterio Un punto x*  X es eficiente (no dominado ú óptimo de Pareto) si no existe x  X tal que: f i (x)  f i (x*)  i = 1,..., p con al menos un k tal que: f k (x) > f k (x*) Por tanto debe mejorar, al menos, un objetivo sin que empeore otro. Es decir, x* es eficiente si no existe otro x que sea preferido a x*. 7

Análisis Multicriterio Un punto x*  X es débilmente eficiente si: No existe x  X tal que: f i (x) > f i (x*)  i = 1,..., p No existe ningún punto que mejore estrictamente todos los objetivos. Es evidente que si x* es eficiente es también débilmente eficiente. 8

Análisis Multicriterio T ÉCNICAS DE RESOLUCIÓN Técnicas Generadoras: El decisor proporciona la función objetivo y las restricciones técnicas del problema. El analista resuelve el problema planteado y obtiene la frontera eficiente. Son métodos que se basan únicamente en la estructura matemática del problema. Obtienen soluciones eficientes, eliminando las que están dominadas. 9

Análisis Multicriterio Programación por Metas: El decisor actúa de manera distinta al anterior, proporcionando: El conjunto de oportunidades. Los objetivos y las direcciones de mejora. Sus preferencias. Mediante estas técnicas de resolución obtenemos soluciones que verifican lo anterior y si no se consigue, se obtienen las “soluciones más cercanas” al conjunto de posibilidades. 10

Análisis Multicriterio Método de la ponderación: Se define una única función objetivo escalar: o Suma ponderada de las funciones objetivo de partida. o A cada f i se le asocia un peso o ponderación i : Donde los pesos i no son preferencias sino parámetros para estimar la frontera eficiente. Verifican: 11

Análisis Multicriterio Se demuestra que: Para cada vector de pesos se obtiene, al menos, un punto extremo eficiente. Por tanto, variando los pesos, se puede generar todo el conjunto eficiente. Este método da soluciones eficientes siempre y cuando los pesos i elegidos sean no negativos. 12

Análisis Multicriterio Caso particular con dos objetivos, denominado bicriterio: Como = 1, despejamos: 1 = 1 - 2, de forma que al escalarizar la función objetivo resulta: 13