Teoría de Grafos.-Clase 2 Conexión y árboles

Aplicación 1: Problemas de ordenación. (Estructura de una compañía) Director Coordinador 1 Coordinador 2 Trabajador 3 Trabajador 4 Trabajador 5 Trabajador 1 Trabajador 2

Aplicación 2.Problemas de búsqueda (Recorrer todas las habitaciones de un laberinto)

Aplicación 3: problemas de conectividad mínima Aplicación 3: problemas de conectividad mínima. (Reconstrucción de carreteras tras un terremoto)

Aplicación 3b: problemas de conectividad mínima Aplicación 3b: problemas de conectividad mínima. (Reconstrucción de carreteras tras un terremoto con varios costes) 3 3 7 2 8 4 8 2 5 2

Definiciones: u v e1 u, e1, v, e3, w, e6, x, e4, u, e1, v, e5, y e2 e3 En general escribiremos u, v, w, x, u, v, y e5 e6 e7 w x y Definición: Una cadena (walk) de un vértice u a un vértice y es una sucesión alternante de vértices y aristas, los cuales pueden estar repetidos.

Definiciones: u v e1 u, e4, x, e6, w, e3, v, e5, y e2 e3 e4 u, x, w, v, y e5 e6 e7 w u v x y e3 e4 e5 e6 w x y Definición: Una camino (path) de un vértice u a un vértice y es una cadena de u a y sin vértices repetidos.

Definiciones: u v e1 u, e1, v, e5, y, e7, w, e2, u e2 e3 e4 u, v, y, w, u e5 e6 e7 w u v e1 x y e2 e5 e7 w y Definición: Una ciclo (cycle) es un camino que empieza y acaba en el mismo vértice.

Definiciones: u v e1 x, e6, w, e3, v, e1, u, e2, w, e7, y e2 e3 e4 x, w, v, u, w, y e5 e6 e7 w u v e1 x y e2 e3 e6 e7 w x y Definición: Una recorrido (trail) es una cadena sin aristas repetidas (se pueden repetir vértices). Observar que es una condición mas débil que un camino.

Definiciones: u v e1 x, e6, w, e3, v, e5, y, e7, w, e2, u, e4, x e2 e3 x, w, v, y, w, u, x e5 e6 e7 w u v x y e2 e3 e4 e5 e6 e7 w x y Definición: Una circuito (circuito) es un recorrido con el mismo origen y final. Observar que un circuito es condición mas débil que un ciclo.

Teorema: Toda cadena u-v contiene un camino u-v Sea u=u0, u1, u2, … , un=v una cadena de longitud n. Suponemos que u es diferente de v. Si todos los vértice son diferentes entonces es un camino Si hay dos vértices iguales digamos ui y uj son iguales con i diferente a j, entonces u=u0, u1, u2, …, ui, ui+1, … uj-1, uj, uj+1, … , un=v Eliminando los vértices desde ui hasta uj-1 tendríamos una cadena donde estos dos vértices no están repetidos. Repitiendo el proceso hasta que no haya vértices repetidos nos daría un camino de u a v. w x y v u e2 e1 e3 e4 e6 e5 e7 u, e1, v, e3, w, e6, x, e4, u, e1, v, e5, y u, e1, v, e3, w, e6, x, e4, u, e1, v, e5, y

Definición: Un vértice u se dice que esta conectado al vértice v si existe una cadena (camino) de u a v. Un grafo se dice conexo o conectado si u esta conectado a v para todas posibles parejas de vértices u y v. Un grafo que no es conexo se dice disconexo. Un subgrafo H de un grafo G se dice una componente de G si H es un subgrafo maximal conexo de G. Grafo conexo Grafo disconexo con 4 componentes

Definición: Un vértice v en un grafo G se denomina vértice de corte si K(G-v) ≥ K(G) Grafo conexo G K(G)=1 v3 K(G-v3)=2 V3 es un vértice de corte v4 v4 v5 v5 v6 v6 v1 v1 v2 v3 v3 K(G-v2)=1 V2 NO es un vértice de corte K(G-v5)=2 V5 es un vértice de corte v4 v4 v5 v6 v6

Definición: Una arista e de un grafo G se denomina puente si K(G-e) ≥ K(G) v1 v2 v3 v5v4 es puente K(G –v5v4)=2 v1 v2 v4 v5 Grafo conexo G K(G)=1 v3 v6 v4 v5 v1 v2 v6 v1v2 NO es puente K(G –v1v2)=1 v3 v4 v5 v6

Sea G un grafo conexo, si e es un puente entonces no esta en un ciclo Teorema: Una arista e de un grafo conexo G es un puente de G si y solo si e no esta en un ciclo de G. Sea G un grafo conexo, si e es un puente entonces no esta en un ciclo Lo probamos por reducción al absurdo. Imaginemos que “e” estuviese en un ciclo. Sea el ciclo u, v, w, … , x, u e imaginemos sin perdida de generalidad que e = uv. Entonces existe un camino en G-e que une uv que seria u, x, …, w, v. Veamos que dos vértices cualesquiera a1 y a2 de G-e están conectados, lo cual es absurdo ya que ya que G-e debería ser disconexo porque e=uv es un puente. Como G es conexo existe un camino de a1 a a2 en G. -Si el camino no contiene a uv también estarán conectados en G-e -Si el camino contiene a e=uv solo hay que cambiar e=uv por u, x, …, w, v. Por tanto G-e es conexo lo cual es una contradicción ya que G-e debería ser disconexo puesto que e=uv es un puente. Si e no esta en un ciclo de G entonces es un puente. Si e=uv no esta en un ciclo entonces G-e no contiene un camino de u a v ya que Si lo contuviese uniendo el vértice uv seria un ciclo. Entonces u y v no están conectados y por tanto el grafo no es conexo.

Definición: Un árbol es un grafo conexo sin ciclos. Árbol p=1 Árbol p=2 Árbol p=3 Árboles p=4 Árboles p=6

Teorema: Un árbol de orden p tiene tamaño p-1. Si p=1, hemos visto que q=0. Si p=2, también hemos visto que q=1. Suponemos que hasta orden k-1 se cumple. Lo demostramos para p=k. Sea T un árbol de orden k. Tenemos que probar que tiene tamaño q= k-1. Como todos las aristas son puentes si quitamos una, quedarían dos componentes T1 y T2. Sean p1 y p2 respectivamente el orden de T1 y T2 y q1 ,q2 sus tamaños. Evidentemente, k=p1+p2 y q=q1+q2+1. Como p1 y p2 son menores que k-1 por hipótesis se cumple que q1=p1-1 y q2=p2-1 Entonces q=q1+q2+1=(p1-1)+(p2-1)+1=p1+p2-1=k-1

Ejercicio: Sean T1 =(V1,A1) y T2=(V2,A2) dos árboles tales que |A1|=17, |V2|=2|V1| . Determinar |V1|, |V2| y |A2|. V1 es 18 ya que el tamaño de un árbol de orden p es p-1. V2=36 ya que 2*18=36 y A2 = 35

Consecuencia. Sea G un grafo de orden p- Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: G es un árbol. (Conexo y sin ciclos) G tiene tamaño p-1 y no tiene ciclos. G es conexo y tiene tamaño p-1. (1)->(3) Por el teorema anterior sabemos que tiene tamaño p-1. (2)->(3) Tenemos que ver que es conexo. Si no fuese conexo, tendría k árboles (ya que no tiene ciclos). Cada árbol tendría p1, p2, … , pk vértices con p1+p2+ ...+ pk=p. Aplicando el teorema anterior tendría tamaño p1-1+p2-1+ ...+ pk-1=p-k. Como sabemos que tiene tamaño p-1 se tiene que k=1. Es decir una única componente y por tanto conexa. (3)->(1) Como ejercicio. Basta observar cual es el menor numero de aristas Necesarias para hacer un ciclo.( Para una demostración rigurosa consultar Gross)

Teorema: Todo árbol con p≥2 contiene al menos dos vértices extremos (grado 1). Vamos a probarlo por reducción al absurdo. Supondremos que no es cierto y llegaremos a una contradicción. Sea T un árbol de orden p y tamaño q con secuencia de grados d1 ≤ d2 ≤ … ≤ dp Como T es conexo al menos cada vértice tiene grado 1 es decir di ≥ 1. Supongamos que no contiene al menos dos vértices de grado 1. Es decir contendría o 0 o 1. Cero no puede ser ya que es conexo. Entonces tendría que tener solo un vértice de grado 1. Entonces se d1 =1 y di ≥2 para los demás vértices. Entonces ∑ di ≥ 1 + 2 (p-1)= 2p -1 (1) (un vértice tiene grado 1 y los otros como mínimo tienen grado 2) Uniendo el teorema 1 de la clase 1 y que como T es un árbol tiene p-1 aristas ∑ di=2q=2(p-1)=2p-2. (2) Uniendo (1) y (2) tenemos 2p-2 ≥ 2p -1 que es absurdo

Teorema: Si u y v son dos vértices distintos de un árbol T, entonces T Contiene exactamente un camino (path) u-v. Sabemos que existe al menos 1 ya que es conexo. Igual que antes vamos a demostrarlo por reducción al absurdo. Supongamos que existen dos caminos P y Q que unen u y v. Entonces tiene que existir un vértice ui donde el siguiente vértice en los dos caminos es diferente. De igual forma existe un vértice u n-j a partir del cual ambos tienen los mismos vértices. u ui un-1 v un-j u2 P Q a1 am ui+1 u n-j-1 Si esto pasase, existiría un ciclo y es absurdo ya que los árboles no tienen ciclos.

Algoritmo Depth-First Search Es un algoritmo que garantiza que de forma sistemática recorremos todos los vértices del grafo. Esta basado en el concepto de pila L M N O P G Q H J I K F E D B C A Pila Apilar Desapilar

Ejemplo: Recorrer todos los vértices del siguiente grafo mediante DFS empezando en 1. 7 2 5 8 4 6 3 1

v1 v1 1 1 2 v1 1 6 7 2 1 3 5 8 4 Aumentamos etiqueta (si hubo asignación de etiqueta) Asignamos Etiqueta (si actual es nuevo) Hubo asignación etiqueta Actual Pila Adyacentes v1 v1 1 1 2 v1 1 6 7 2 1 3 5 8 4

Aumentamos etiqueta (si hubo asignación de etiqueta) Asignamos Etiqueta (si actual es nuevo) Hubo asignación etiqueta Actual Pila Adyacentes v1 v1 1 1 2 v1 1 v2 2 1 3 v1v2 1 v2 6 7 2 1 3 5 8 4

Aumentamos etiqueta (si hubo asignación de etiqueta) Asignamos Etiqueta (si actual es nuevo) Hubo asignación etiqueta Actual Pila Adyacentes v1 v1 1 1 2 v1 1 v2 2 1 3 v1v2 1 v2 v5 3 1 4 v1v2v5 1 v5 6 7 2 1 3 5 8 4

Aumentamos etiqueta (si hubo asignación de etiqueta) Asignamos Etiqueta (si actual es nuevo) Hubo asignación etiqueta Actual Pila Adyacentes v1 v1 1 1 2 v1 1 v2 2 1 3 v1v2 1 v2 v5 3 1 4 v1v2v5 1 v5 v6 4 1 5 v1v2v5v6 v6 6 7 2 1 3 5 8 4

Aumentamos etiqueta (si hubo asignación de etiqueta) Asignamos Etiqueta (si actual es nuevo) Hubo asignación etiqueta Actual Pila Adyacentes v1 v1 1 1 2 v1 1 v2 2 1 3 v1v2 1 v2 v5 3 1 4 v1v2v5 1 v5 v6 4 1 5 v1v2v5v6 v6 v5 - 5 v1v2v5 1 6 7 2 1 3 5 8 4

Aumentamos etiqueta (si hubo asignación de etiqueta) Asignamos Etiqueta (si actual es nuevo) Hubo asignación etiqueta Actual Pila Adyacentes v1 v1 1 1 2 v1 1 v2 2 1 3 v1v2 1 v2 v5 3 1 4 v1v2v5 1 v5 v6 4 1 5 v1v2v5v6 v8 v6 v5 - 5 v1v2v5 1 v8 5 1 6 v1v2v5v8 6 7 2 1 3 5 8 4

Aumentamos etiqueta (si hubo asignación de etiqueta) Asignamos Etiqueta (si actual es nuevo) Hubo asignación etiqueta Actual Pila Adyacentes v1 v1 1 1 2 v1 1 v2 2 1 3 v1v2 1 v2 v5 3 1 4 v1v2v5 1 v5 v6 4 1 5 v1v2v5v6 v8 v6 v5 - 5 v1v2v5 1 v8 5 1 6 v1v2v5v8 v5 - 6 v1v2v5 6 7 2 1 3 5 8 4

Aumentamos etiqueta (si hubo asignación de etiqueta) Asignamos Etiqueta (si actual es nuevo) Hubo asignación etiqueta Actual Pila Adyacentes v1 v1 1 1 2 v1 1 v2 2 1 3 v1v2 1 v2 v5 3 1 4 v1v2v5 1 v5 v6 4 1 5 v1v2v5v6 v8 v6 v5 - 5 v1v2v5 1 v8 5 1 6 v1v2v5v8 v5 - 6 v1v2v5 v2 - 6 v1v2 6 7 2 1 3 5 8 4

Aumentamos etiqueta (si hubo asignación de etiqueta) Asignamos Etiqueta (si actual es nuevo) Hubo asignación etiqueta Actual Pila Adyacentes v1 v1 1 1 2 v1 1 v2 2 1 3 v1v2 1 v2 v5 3 1 4 v1v2v5 1 v5 v6 4 1 5 v1v2v5v6 v8 v6 v5 - 5 v1v2v5 1 v8 5 1 6 v1v2v5v8 v5 - 6 v1v2v5 v2 - 6 v1v2 v1 - 6 v1 1 6 7 2 1 3 5 8 4

Aumentamos etiqueta (si hubo asignación de etiqueta) Asignamos Etiqueta (si actual es nuevo) Hubo asignación etiqueta Actual Pila Adyacentes v1 v1 1 1 2 v1 1 v3 v2 2 1 3 v1v2 1 v2 v5 3 1 4 v1v2v5 1 v5 v6 4 1 5 v1v2v5v6 v8 v6 v5 - 5 v1v2v5 1 v8 5 1 6 v1v2v5v8 v5 - 6 v1v2v5 v2 - 6 v1v2 v1 - 6 v1 1 v3 6 1 7 v1v3 1 6 7 2 1 3 5 8 4

Aumentamos etiqueta (si hubo asignación de etiqueta) Asignamos Etiqueta (si actual es nuevo) Hubo asignación etiqueta Actual Pila Adyacentes v1 v1 1 1 2 v1 1 v3 v2 2 1 3 v1v2 1 v2 v4 v5 3 1 4 v1v2v5 1 v5 v6 4 1 5 v1v2v5v6 v8 v6 v5 - 5 v1v2v5 1 v8 5 1 6 v1v2v5v8 v5 - 6 v1v2v5 v2 - 6 v1v2 v1 - 6 v1 1 v3 6 1 7 v1v3 1 v4 7 1 8 v1v3v4 6 7 2 1 3 5 8 4

Aumentamos etiqueta (si hubo asignación de etiqueta) Asignamos Etiqueta (si actual es nuevo) Hubo asignación etiqueta Actual Pila Adyacentes v1 v1 1 1 2 v1 1 v3 v2 2 1 3 v1v2 1 v2 v4 v5 3 1 4 v1v2v5 1 v5 v6 4 1 5 v1v2v5v6 v8 v6 v5 - 5 v1v2v5 1 v8 5 1 6 v1v2v5v8 v5 - 6 v1v2v5 v2 - 6 v1v2 v1 - 6 v1 1 v3 6 1 7 v1v3 1 v4 7 1 8 v1v3v4 6 7 v3 - 8 v1v3 1 2 1 3 5 8 4

Aumentamos etiqueta (si hubo asignación de etiqueta) Asignamos Etiqueta (si actual es nuevo) Hubo asignación etiqueta Actual Pila Adyacentes v1 v1 1 1 2 v1 1 v3 v2 2 1 3 v1v2 1 v2 v4 v5 3 1 4 v1v2v5 1 v5 v7 v6 4 1 5 v1v2v5v6 v8 v6 v5 - 5 v1v2v5 1 v8 5 1 6 v1v2v5v8 v5 - 6 v1v2v5 v2 - 6 v1v2 v1 - 6 v1 1 v3 6 1 7 v1v3 1 v4 7 1 8 v1v3v4 6 7 v3 - 8 v1v3 1 v7 8 1 9 v1v3v7 2 1 3 v3 - 9 v1v3 5 5 v1 - 9 v1 8 4

v1 6 7 v2 v3 2 1 5 3 v5 8 4 v7 v4 v6 v8

Algoritmo Depth-First Search Es un algoritmo parecido al DFS que garantiza que de forma sistemática recorremos todos los vértices del grafo. Esta basado en el concepto de cola. L M N O P G Q H J I K F E D B C A Elimina Añade 2 3 4 8 1 3 5 11

7 2 5 8 4 6 3 1

6 7 2 1 3 5 8 4 v1 (1) v1

6 7 2 1 3 5 8 4 v1 (1) v1 (2) v1 v2 v3 v4 v6 v7 v8 v2 v3 v4 v6 v7 v8 v2 v3 v4 v6 v7 v8

6 7 2 1 3 5 8 4 v1 (1) v1 (2) v1 v2 v3 v4 v6 v7 v8 v2 v3 v4 v6 v7 v8 v2 v3 v4 v6 v7 v8 (3) v2 v3 v4 v6 v7 v8 v5 v3 v4 v6 v7 v8 v5 v5

6 7 2 1 3 5 8 4 v1 (1) v1 (2) v1 v2 v3 v4 v6 v7 v8 v2 v3 v4 v6 v7 v8 v2 v3 v4 v6 v7 v8 (3) v2 v3 v4 v6 v7 v8 v5 v3 v4 v6 v7 v8 v5 v5 (4) v3 v4 v6 v7 v8 v5 v4 v6 v7 v8 v5

6 7 2 1 3 5 8 4 v1 (1) v1 (2) v1 v2 v3 v4 v6 v7 v8 v2 v3 v4 v6 v7 v8 v2 v3 v4 v6 v7 v8 (3) v2 v3 v4 v6 v7 v8 v5 v3 v4 v6 v7 v8 v5 v5 (4) v3 v4 v6 v7 v8 v5 v4 v6 v7 v8 v5 v4 v6 v7 v8 v5 v6 v7 v8 v5 (5)

6 7 2 1 3 5 8 4 v1 (1) v1 (2) v1 v2 v3 v4 v6 v7 v8 v2 v3 v4 v6 v7 v8 v2 v3 v4 v6 v7 v8 (3) v2 v3 v4 v6 v7 v8 v5 v3 v4 v6 v7 v8 v5 v5 (4) v3 v4 v6 v7 v8 v5 v4 v6 v7 v8 v5 v4 v6 v7 v8 v5 v6 v7 v8 v5 (5) (6) v6 v7 v8 v5 v7 v8 v5 (7) v7 v8 v5 v8 v5 v5 (8) v8 v5

7 2 5 8 4 6 3 1 v1 v1 v2 v3 v2 v3 v4 v6 v7 v8 v5 v5 v7 v4 v6 v8 DBS DFS