Distribuciones de probabilidad Matemáticas aplicadas a las CCSS II Ana Pola IES Avempace

Ley de los grandes números Al repetir, en condiciones estables, un gran número de veces un mismo experimento, las frecuencias relativas correspondientes a cada uno de los sucesos tienden a estabilizarse en un determinado valor. Este valor recibe el nombre de probabilidad.

Del modelo experimental al modelo teórico Variable estadística Variable aleatoria

120 lanzamientos

1200 lanzamientos

4800 lanzamientos

Variable aleatoria Es una variable numérica cuyo valor viene determinado por el azar. Es una función tal que a cada suceso elemental del espacio muestral le asigna un número real. Se lanza tres veces una moneda. Contamos el número de caras E R XXX XXC XCX CXX CCX XCC CXC CCC 1 2 3

Función de probabilidad Llamamos función de probabilidad P de una variable aleatoria X, o distribución de probabilidad de esa variable, a una función que hace corresponder a cada valor de la variable su probabilidad: Como la variable aleatoria recorre todos los sucesos del espacio muestral, la suma de las probabilidades asociadas debe ser 1:

Distribuciones discretas de probabilidad 1 Una variable aleatoria es discreta cuando toma un número de valores finito. Ejemplo 1: Se tira un dado. Se define la variable aleatoria: puntuación obtenida. A cada valor de la variable aleatoria se le asocia su probabilidad. P(X = x1)+P(X = x2)+P(X = x3)+P(X = x4)+P(X = x5)+P(X = x6) = = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1 Distribución uniforme

Distribuciones discretas de probabilidad 2 Ejemplo 2: Se tira tres veces una moneda. Se define la variable aleatoria: número de caras. P(X = x1)+P(X = x2)+P(X = x3)+P(X = x4) = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1. Distribución no uniforme

Valor esperado Llamamos valor esperado o esperanza matemática de la variable aleatoria X al valor: La expresión valor esperado alude a los juegos de azar. Es la ganancia que se espera recibir, en promedio, por jugar a una sola opción en dicho juego. Si E(X) = 0  no existe ventaja para el jugador ni para la “banca” Si E(X) > apuesta  el juego es favorable al jugador Si E(X) < apuesta  el juego es desfavorable al jugador

Dos ejemplos En el experimento del lanzamiento de 3 monedas:  = 0·1/8 + 1·3/8 + 2·3/8 + 3·1/8 = 12/8 = 1,5 Es decir, por término medio, se espera que la mitad de las veces salga cara y la otra mitad cruz. En una rifa de 10000 números, se vende cada uno a 10€ y hay la posibilidad de ganar un coche valorado en 12000€. La función de probabilidad es y la esperanza matemática es Es decir, la ganancia media del jugador es 1,2 €. Para que la rifa fuera justa, cada número debería venderse a 1,2 €- Sucesos perder ganar X 12000 P(X) 9999/10000 1/10000

Varianza y desviación típica Dada una variable aleatoria discreta X, con su correspondiente distribución de probabilidad, definiremos la varianza de esa distribución como: Se puede demostrar que esta fórmula es equivalente a esta otra: Llamaremos desviación típica de esta variable aleatoria a la raíz cuadrada de su varianza:

Un juego de azar con apuesta Una urna contiene 5 bolas: 3 rojas y 2 azules. Extraemos dos bolas. Ganamos 100 € cuando salen 2 bolas rojas. Perdemos 20 € cuando salen de distinto color y 150 € cuando salen las azules. En cada jugada esperamos ganar 3 €. Por tanto, en 100 jugadas la ganancia esperada sería de 300 €. El juego es arriesgado porque en una jugada la pérdida o ganancia se sitúa, muy probablemente, en el intervalo: [3 - 74.03 , 3 + 74.03] = [-71.03 , 77.03] r a 3/5 2/5 2/4 3/4 1/4 P(rr) = 3/5·2/4 =3/10 P(ra) = 3/5·2/4 =3/10 P(ar) = 2/5·3/4 =3/10 P(aa) = 2/5·1/4 =1/10