El Teorema del Límite Central CLT F#

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El Teorema del Límite Central Quizá el más importante que fundamenta la de la Estadística. Más de 200 años resumidos en unos minutos. F#

El Teorema del Límite Central F#

blackboard F#

Propiedades estadísticas F#

Propiedad 1 A medida que el tamaño de la muestra aumenta, la distribución muestral de medias tiende a la Normal. F#

Propiedad 2 El promedio de la distribución de medias no cambia independientemente del tamaño de la muestra tomada. F#

Propiedad 3 Conforme aumenta el tamaño de la muestra, la variación de la distribución muestral disminuye. F#

Desarrollo Histórico 1718-1935 F#

Abraham de Moivre (1667-1754) En 1718 escribió “La Doctrina del Azar” para jugadores. Amigo de Isaac Newton. Desarrolló el primer acercamiento al modelo del CLT. Detuvo un tiempo sus trabajos y 100 años después Gauss, de manera independiente, desarrolló un modelo CLT. (402) 1663 De Moivre wrote a book on probability theory, The Doctrine of Chances, said to have been prized by gamblers. He was a friend of Isaac Newton. Desafortunadamente su trabajo paro por un tiempo y Gauss, de manera indepediente desarrollo la distribucion normal 100 años mas tarde. F#0402

Pierre Simon Laplace (1749-1827) Estudió los principios de la distribución normal en Francia paralelamente lo hizo también Gauss en Alemania. Estudiando la distribución de la inclinación de meteoros encontró errores contra valores teóricos. W 1776 Estudio los principios de la distribución normal en Francia paralelamente lo hizo también Gauss en Alemania. Por lo que esta distribución es conocida como laplaciana en Francia y gausiana en Alemania. He was working on calculating the probability distribution of the sum of meteor inclination angles. He there faced the problem of the deviations between the arithmetic mean of the data (which were inflicted with observational errors) and the theoretical value. F#0403

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) Encontró la mejor aproximación, hasta entonces, de los errores observados contra los esperados. W 1821 Cauchy's proof follows a different line compared to the previous proofs. He first found an upper bound to the difference between the exact value and the approximation and then specified conditions for this bound to tend to zero. F#0404

Siméon Denis Poisson (1781-1840) En 1824 proveyó una mejor aproximación del teorema de Laplace W 1824 he tried to provide a more exact mathematical analysis to Laplace's theorem F#0405

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) En 1828 llegó a darse cuenta de la existencia de curvatura y su propiedad. W 1828 In his 1799 doctorate in absentia, Among other things he came up with the notion of Gaussian curvature, establishing an important property of the notion of curvature F#0406

Alexander M. Lyapunov (1857-1918) En 1870 Desarrolló la función característica moderna que hoy conocemos a partir de la función límite de la distribución Binomial. W 1870 Desarrollo la función característica moderna que hoy conocemos a partir de la función límite de la distribución Binomial. After Liapounov's proof of the CLT with characteristic functions in 1901. instead. Liaupounov's proof, published in 1901, is considered the first "real" rigorous proof of the CLT F#0407

Pafnuty Lvovich Chebyshev (1821-894) De la “escuela de San Petesburgo” concluyó con un riguroso desarrollo del Teorema del Límite Central. W 1887 Junto con Chebyshev, Markov and Liapounov de "St. Petersburg School" are generally considered as having contributed the most to the central limit theorem. Chebyshev's paper in 1887 is generally considered the beginning of rigorous proofs for the central limit theorem. Concluyo con un riguroso desarrollo del Teorema del Limita Central F#0408

Andrey Andreyevich Markov (1856-1922) De la “escuela de San Petesburgo” llegó a probar rigurosamente el CLT de Liapounov usando el método de momentos. W 1898 after Chebyshev's proof, Markov stated that: "a further condition needs to be added in order to make the theorem correct". 1913 when he presented a paper that provided a rigorous proof of the CLT under Liapounov's condition by using the method of moments. F#0409

Jarl Waldemar Lindeberg (1876-1932) En 1922 publicó una prueba elemental del CLT. W 1922 In 1922, Lindeberg published an elementary proof of the CLT F#0410

Paul Pierre Lévy (1886-1971) De 1925 a 1930 publicó sobre el CLT usando mayormente funciones características en sus pruebas. 1925 Lévy proved Lindeberg's condition in 1925, using characteristic functions. He did, however, consider Lindeberg's proof to be simpler and superior to his own [Cam]. He published several papers related to the central limit theorem between 1925 and 1930, mostly using characteristic functions in his proofs. F#0411

William Feller (1906 –1970) En 1935 junto con Lévy dan las condiciones necesarias y suficientes del CLT que hoy conocemos, terminando con esto la larga discusión sobre el tema. 1935 As Poisson had shown already in 1824, the approximation to a normal distribution did not always hold for arbitrary independent variables.This lack was partly remedied by Lévy and Feller in 1935 and 1937. Feller's paper of 1935 gives the necessary and sufficient conditions for the CLT. F#0412

El Teorema del Limite Central Si x1, x2, … xn es una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población con media µ y varianza σ2, entonces el límite de la distribución cuando n→∞, es la distribución normal. Engineering Statistics Montgomery p139 F#

Gracias al CLT las gráficas de control trabajan! La mayoría de las distribuciones, sin importar su forma, se aproximan aceptablemente a la normal con muestras de tamaño 4 o 5. F#

Preguntas y respuestas F#

Gracias! F#