25/04/2015 Prof. María Cristina González Noble 1 PRIMEROS PASOS HACIA LA DETERMINACIÓN DE DERIVADAS 3º de Bachillerato Tecnológico

25/04/2015 Prof. María Cristina González Noble 2 Introducción La llegada de la Geometría proporcionó un poderoso estímulo a la invención del cálculo diferencial puesto que, la representación gráfica de una función reveló muchas características importantes de la misma

25/04/2015 Prof. María Cristina González Noble 3 Pautas de crecimiento de una recta Las rectas tienen un crecimiento constante, que se mide con su pendiente Si la pendiente es grande, el crecimiento o decrecimiento es rápido Si la pendiente es pequeña entonces crecen o decrecen lentamente Cuando la pendiente es nula, la recta no crece ni decrece

25/04/2015 Prof. María Cristina González Noble 4 Pautas de crecimiento de una curva El crecimiento de una curva es variable Varía en cada punto de la misma Para medir el crecimiento o decrecimiento de una curva, determinaremos la pendiente de la recta tangente a la misma, en cada punto de ella

25/04/2015 Prof. María Cristina González Noble 5 Tasa de variación media Llamaremos tasa de variación media de una función f(x), en el intervalo [ a, b ] al cociente resultante de dividir, variación de ordenadas sobre variación de abscisas

25/04/2015 Prof. María Cristina González Noble 6 Tasa de variación media (continuación) Cuando se trabaja con una función f(x) a la que quiere determinársele la tasa de variación media en un intervalo, [a,b], procedemos a trazar la cuerda que va del punto de abscisa a, al punto de abscisa b La pendiente de la cuerda anterior, se determina haciendo : variación de ordenadas, f(b) – f(a), dividido la variación de abscisas, (b-a)

25/04/2015 Prof. María Cristina González Noble 7 Tasa de variación instantánea Cuando se estudia la tasa de variación media (T.V.M) en intervalos variables de la forma [a,b], en que a permanece fijo y b va tomando valores cada vez más próximos a a, se obtiene lo que ha de llamarse la tasa de variación instantánea Se llama tasa de variación instantánea al límite de la T.V.M en el intervalo [a,b] cuando b tiende a a

25/04/2015 Prof. María Cristina González Noble 8 Qué significa esto La T.V.M de una función en un intervalo la interpretábamos como la pendiente de la cuerda correspondiente.

25/04/2015 Prof. María Cristina González Noble 9 Qué significa esto Al determinar la tasa de variación instantánea se considera que el extremo derecho del intervalo se va aproximando al izquierdo. Por consiguiente, las cuerdas correspondientes van tendiendo hacia la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x=a. La derivada de la función, en el punto de abscisa x=a, representada por f´(a), no es más que la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa mencionado.

25/04/2015 Prof. María Cristina González Noble 10 Algunas aplicaciones de la razón de cambio Velocidad promedio de un auto: supóngase que la distancia recorrida por un automóvil, que transita por un camino recto, t segundos después de partir del reposo, está dada por: f(t) = 2.t 2 a) Calcúlese la velocidad promedio del auto en los períodos [22, 23], [22, 22.1], [22, 22.01]

25/04/2015 Prof. María Cristina González Noble 11 Algunas aplicaciones de la razón de cambio b) Calcular la velocidad instantánea cuando t = 22 c) Comparar los resultados de las dos partes anteriores