Fase Regional 13 al 17 de mayo de 2014 Málaga Provincia olímpica La tómbola Fase Regional 13 al 17 de mayo de 2014 S.A.E.M THALES

Enunciado: Solución Menú En Matelandia se va a organizar una tómbola y para ello se presentan las bolas con números del dibujo, que se introducen en una urna cerrada. Se extraen dos bolas simultáneamente y se procede a multiplicar sus números. Pitagorín y su primo Fermín van a jugar y les ofrecen tres tarjetas para que elijan una antes de proceder a la extracción de las bolas, pero no saben cuál elegir. ¿Qué tarjeta deberán escoger para tener más posibilidades de ganar en el juego? Razona la respuesta. Solución Menú 2 2

2 3 4 3 4 3 4 3 2 Solución: Enunciado Menú Comencemos analizando cuántas posibilidades distintas tenemos al extraer dos bolas en la tómbola 2 3 4 3 4 3 4 3 2 Enunciado Menú 3

2 3 4 4 4 4 Solución: Enunciado Menú Podemos observar que si cambiamos las bolas de posición obtenemos el mismo resultado Debemos tener en cuenta que los colores influyen en los resultados, ya que son bolas diferentes 2 3 4 4 Es diferente a 4 4 Enunciado Menú 4 4

Solución: Comencemos el recuento de las diferentes posibilidades, y para ello vamos a empezar por una bola cualquiera, lo cual no influye en el recuento 3 3 Para la bola 2 azul, tendríamos 8 posibilidades de formar pareja 3 2 2 3 4 4 4 3 Para la bola 3 rosa, tendríamos 7 posibilidades de formar pareja (ya eliminamos la bola azul anterior) 3 2 3 3 4 4 4 Para la bola 3 gris, tendríamos 6 posibilidades de formar pareja 3 2 3 4 3 4 4 Para la bola 4 verde, tendríamos 5 posibilidades de formar pareja 3 2 3 4 4 4 Enunciado Menú 5 5

Solución: Para la bola 4 roja, tendríamos 4 posibilidades de formar pareja 3 2 3 4 4 Para la bola 3 naranja, tendríamos 3 posibilidades de formar pareja 3 2 3 4 Para la bola 4 morada, tendríamos 2 posibilidades de formar pareja 3 4 2 Finalmente, para la bola 3 amarilla, tendríamos 1 única posibilidad de formar pareja 3 2 Debemos destacar que el orden de la elección de las bolas no influye en el recuento Total: 8+7+6+5+4+3+2+1 = 36 resultados diferentes Enunciado Menú 6 6

Veamos cuántos de éstos 36, favorecen a la primera tarjeta Solución: Veamos cuántos de éstos 36, favorecen a la primera tarjeta Para que el resultado del producto sea un numero impar, ambos números deben ser impares, ya que si alguno es par, es producto sería par. Así pues tenemos solo cuatro bolas para combinar, y para el recuento, procedemos de la misma manera 3 3 3 3 Tendremos 3 +2 + 1 = 6 resultados diferentes Enunciado Menú 7 7

Veamos cuántos favorecen a la tercera tarjeta Solución: Veamos cuántos favorecen a la tercera tarjeta Para que el resultado del producto de los números de estas bolas sea un cuadrado perfecto, ambos números deben ser iguales, ó 2 ó 3 ó 4 2 2 Para las bolas numeradas con el 2 tendremos 1 resultado 3 3 3 3 Para las bolas numeradas con el 3 tendremos 3 + 2 + 1 = 6 resultados 4 4 4 Para las bolas numeradas con el 4 tendremos 2 + 1 = 3 resultados TOTAL: 10 resultados diferentes Enunciado Menú 8 8

Solución: Los resultados que favorecen a la segunda tarjeta En este caso, tendremos que analizar tres casos diferentes: Las bolas sean 2 y 3 Las bolas sean 2 y 4 Las bolas sean 3 y 4 A todas las posibilidades que hemos contabilizado al inicio (36) debemos descontar las que son iguales (10), que las hemos contabilizado en el caso anterior, y así obtendremos aquellas en las que las bolas son diferentes Cómo éste recuento es muy largo y laborioso es mejor contar el caso contrario, es decir, contabilizar aquellos en los que los dos números extraídos sean iguales. Que coincide con los resultados de la tercera tarjeta ya analizada TOTAL 36 – 10 = 26 resultados diferentes Enunciado Menú 9 9

TOTAL: 6 resultados diferentes Solución: Vamos a resumir los resultados obtenidos TOTAL: 6 resultados diferentes TOTAL: 26 resultados diferentes TOTAL: 10 resultados diferentes Enunciado Menú 10 10

Solución: Enunciado Menú Por todo ello deberíamos jugar con la segunda tarjeta HEMOS ENCONTRADO LA SOLUCIÓN... … pero ¿habrá más formas de calcularla? Enunciado Menú 11