AJUSTE 1 I ciclo, 2015 Email: jose.valverde.calderon@una.cr José Francisco Valverde Calderón Email: jose.valverde.calderon@una.cr Sitio web: www.jfvc.wordpress.com Profesor: José Francisco Valverde C

Ventajas de aplicar un algoritmo de ajuste geodésico: I Ciclo, 2015 2 Introducción Ventajas de aplicar un algoritmo de ajuste geodésico: Obtener la mejor solución al problema (vtPv=min). Obtener una solución única Detección de errores groseros en las observaciones. Determinación de la calidad de los parámetros y las observaciones realizadas. Determinación de regiones de confianza apoyados en la estadística matemática y aplicación de test estadísticos para la toma de decisiones. El algoritmo de ajuste o ajuste de observaciones mediatas es de gran aplicación en el ajuste de redes geodesias, que son apoyo para: Control de obras de ingeniería y replanteos de precisión Estudios de deformación Otros Profesor: José Francisco Valverde C

Caso general del ajuste I Ciclo, 2015 3 Variantes del ajuste Caso general del ajuste Ajuste de condicionadas Ajuste de mediatas Ajuste amarrado Ajuste libre Minimización Total de Traza Minimización Parcial de Traza Profesor: José Francisco Valverde C

Ajuste 1 I Ciclo, 2015 4 5.1 El modelo matemático La aplicación del algoritmo se basa en el desarrollo de lo que se conoce como “MODELO MATEMÁTICO DEL AJUSTE”, el cual se divide en dos: MODELO FUNCIONAL MODELO ESTOCÁSTICO Se debe realizar el ajuste para determinar las coordenadas planimétricas del punto E. Para ello, se efectúan observaciones angulares y longitudinales desde los puntos fijos A, B, C y D. Profesor: José Francisco Valverde C

5.1 El modelo matemático Del ejemplo anterior, se tiene: Ajuste 1 I Ciclo, 2015 5 5.1 El modelo matemático Del ejemplo anterior, se tiene: Incógnitas = u = 2 (Este, Norte de E) Observaciones = n = 12 (8 ángulos y 4 dist.) Grados de libertad = f f = n-u f= 12-2 f = 10 De forma general, se realizan n-observaciones, las cuales se ordenan en el vector de observaciones L, cuyas dimensiones es n,1: Profesor: José Francisco Valverde C

Ajuste 1 I Ciclo, 2015 6 5.1 El modelo matemático Estas n-observaciones realizan para determinar u-incógnitas, las cuales se ordenan en el vector de incógnitas, cuyas dimensiones es u,1: El modelo funcional lo que hace es relacionar las observaciones con las incógnitas mediante una función. Si consideramos el valor verdadero de las observaciones y las incógnitas, tenemos: Profesor: José Francisco Valverde C

Ajuste 1 I Ciclo, 2015 7 5.1 El modelo matemático Como en general no se conocen los valores verdaderos de las observaciones, en su lugar se conocen las observaciones realizadas. Se debe modificar el modelo funcional presentado anteriormente y se deben agregar las observaciones pequeñas correcciones (los residuos v), para que el modelo funcional sea consistente: El anterior modelo implica que para cada observación se debe plantear una función Profesor: José Francisco Valverde C

Vector de incógnitas ajustadas Ajuste 1 I Ciclo, 2015 8 5.1 El modelo matemático Es necesario el establecer valores aproximados para las incógnitas. De esta forma se plantea un vector de incógnitas aproximadas, de forma que se plantea el siguiente modelo: Vector de incógnitas ajustadas Vector con los valores aproximados de las incógnitas Corrección Profesor: José Francisco Valverde C

Ajuste 1 I Ciclo, 2015 9 5.1 El modelo matemático Como se establece un modelo funcional, que relaciona observaciones ajustadas con incógnitas ajustadas, el modelo es valido para relacionar los valores aproximados de las incógnitas y determinar valores aproximados para las observaciones: ADVERTENCIA: AL APLICAR EL ALGORITMO DE AJUSTE DE OBSERVACIONES MEDIATAS, LOS VALORES APROXIMADOS DE LAS INCOGNITAS PUEDEN SER DEFINIDOS DE FORMA ARBITRARIA LOS VALORES APROXIMADOS DE LAS OBSERVACIONES NO PUEDEN SER DEFINIDOS DE FORMA ARBITRARIA Profesor: José Francisco Valverde C

Ajuste 1 I Ciclo, 2015 10 El modelo funcional por lo general debe ser linealizado, por lo que se recurre a una serie de Taylor:

Modelo funcional en una red de nivelación Ajuste 1 I Ciclo, 2015 11 5.1 El modelo matemático Se plantea finalmente el modelo funcional linealizado del ajuste: Modelo funcional en una red de nivelación

Modelo funcional en una red de trilateración (fijo TUR 1 y TUR 3) Ajuste 1 I Ciclo, 2015 12 Modelo funcional en una red de trilateración (fijo TUR 1 y TUR 3) S4 S5 S8 S1 S3 S7 S6 S3 Profesor: José Francisco Valverde C

5.1 El modelo matemático Modelo estocástico Ajuste 1 I Ciclo, 2015 13 5.1 El modelo matemático Modelo estocástico Este modelo permite considerar los errores aleatorios que afectan las observaciones. El procedimiento es idéntico al visto para el ajuste de observaciones directas: Armar ll; Calcular Qll, considerando el valor 02; Calcular la matriz de pesos Pll; Profesor: José Francisco Valverde C

5.2 Algoritmo Procedimiento: 1. Ordenar el vector L Ajuste 1 I Ciclo, 2015 14 5.2 Algoritmo Procedimiento: 1. Ordenar el vector L 2. Establecer el modelo funcional 3. Definir el vector de incógnitas aproximadas 4.Obtener el vector de observaciones aproximadas 5.Obtener el vector de observaciones reducidas 6. Armar la matriz ll (definir la varianza de la unidad de pesos a priori) 7. Calcular la matriz Qll 8. Calcular la matriz de pesos Pll 9.Armar y calcular la matriz de configuración A 10. Calcular la matriz N (matriz de ecuaciones normales) 11. Calcular la matriz n 12. Calcular la matriz Qxx 13. Calcular el vector de incógnitas reducidas ajustadas 14. Calcular el vector de residuos 15. Calcular la prueba parcial de cálculo Profesor: José Francisco Valverde C

5.2 Algoritmo Procedimiento: 16. Calcular la prueba del ajuste I Ciclo, 2015 15 5.2 Algoritmo Procedimiento: 16. Calcular la prueba del ajuste 17. Calcular el vector de incógnitas ajustadas 18. Calcular el vector de observaciones ajustadas 19. Calcular al prueba final del ajuste 20. Calcular la varianza a posteri de la unidad de pesos 21. Calcular la matriz de varianza-covarianza de las incógnitas y la desviación estándar de las incógnitas 22. Calcular la matriz de varianza-covarianza de las observaciones y y la desviación estándar de las observaciones Además, se debe: Calcular la prueba de la varianza; Aplicar el test para la detección de errores groseros en las obs. Calcular las elipses de confianza para las incógnitas Calcular otros parámetros para el análisis del ajuste Profesor: José Francisco Valverde C

(4) (2) (5) (7) (8) (10) (11) 5.2 Algoritmo Ajuste 1 I Ciclo, 2015 16 Profesor: José Francisco Valverde C

(12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) 5.2 Algoritmo Ajuste 1 I Ciclo, 2015 17 5.2 Algoritmo (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19)

(21) (20) (22) (22) 5.2 Algoritmo Ajuste 1 I Ciclo, 2015 18 Profesor: José Francisco Valverde C

Ajuste 1 I Ciclo, 2015 19 5.2 Algoritmo El paso final después de aplicar el algoritmo de ajuste, es realizar la comprobación del modelo matemático También, a partir de los resultados del ajuste, se puede deducir parámetros de calidad y confiabilidad para los resultados del ajuste. El análisis de los resultados del ajuste, implica efectuar: El Test global o la prueba de la varianza (indispensable para acertar o rechazar el ajuste) Sin embargo, la prueba global nos dice si el cálculo esta bien y aceptar o rechazar el modelo funcional y estocástico. Pero esto es muy diferente a aceptar el ajuste en relación con unos parámetros preestablecidos, que son lo que en última instancia dicen si el trabajo se hizo bien o no. El test de errores groseros, para determinar con una determinada probabilidad que observaciones están afectando el modelo funcional del ajuste (observaciones groseras). Profesor: José Francisco Valverde C

Ajuste 1 I Ciclo, 2015 20 5.2 Algoritmo Calculo de parámetros de exactitud, como la exactitud de las incógnitas y las observaciones después del ajuste. Parámetros de confiabilidad, como las elipses de confianza en el caso de ajustes planimétricos o 3D (elipsoides de confianza) Algunas fuentes de error que afectan el ajuste: Errores atmosféricos no corregidos No realizar las reducciones adecuadas cuando se trabaja con coordenadas que están referidas a un determinado plano cartográfico Confusión al considerar los puntos de amarre (puntos fijos) Errores instrumentales no determinados o errores de centrado Constantes aditivas de los prismas mal consideradas o factores de escala en los instrumentos EDM Confusión en las unidades de medición Tensiones en las coordenadas de los puntos fijos Entre otros. Profesor: José Francisco Valverde C

5.3 Linealización de funciones Ajuste 1 I Ciclo, 2015 21 5.3 Linealización de funciones Se hace la salvedad de que el algoritmo de ajuste ya visto sigue siendo valido. La diferencia para estas observaciones será como se define la matriz de configuración A. Además, se hace la observación de que el ajuste (proceso de cálculo) de observaciones horizontales requiere de mas cuidado que el ajuste observaciones verticales, por la forma en como se debe llenar la matriz A. El inconveniente es el hecho de que el modelo de ajuste es lineal. Para aplicar el algoritmo de ajuste, se requiere que linealizar las funciones, que para el caso de observaciones horizontales, no lo son. NOTA: EL CÁLCULO DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES SE HACE CON LOS VALORES APROXIMADOS DE LAS INCOGNITAS Y LAS OBSERVACIONES Profesor: José Francisco Valverde C

5.3 Linealización de funciones Ajuste 1 I Ciclo, 2015 22 5.3 Linealización de funciones DISTANCIAS Nomenclatura estándar: i = punto de estación j = punto al que se dirige la observación j sij Nj-Ni i Ni Ej-Ei Ei Profesor: José Francisco Valverde C

5.3 Linealización de funciones Ajuste 1 I Ciclo, 2015 23 5.3 Linealización de funciones DISTANCIAS Ecuación de observación para distancias Funciones linealizadas para la matriz A

5.3 Linealización de funciones Ajuste 1 I Ciclo, 2015 24 5.3 Linealización de funciones Ángulos Nomenclatura estándar: i = Punto de estación j = Puntería izquierda k = Puntería derecha N j tij i k Ni tik Ei Profesor: José Francisco Valverde C

5.3 Linealización de funciones Ajuste 1 I Ciclo, 2015 25 5.3 Linealización de funciones Ángulos Ecuación de observación para ángulos Funciones linealizadas para la matriz A

5.3 Linealización de funciones Ajuste 1 I Ciclo, 2015 26 5.3 Linealización de funciones Azimuts Nomenclatura estándar: i = punto de estación j = punto al que se dirige la observación N j tij i Ni Ei Profesor: José Francisco Valverde C

5.3 Linealización de funciones Ajuste 1 I Ciclo, 2015 27 5.3 Linealización de funciones DISTANCIAS Ecuación de observación para azimuts Funciones linealizadas para la matriz A Profesor: José Francisco Valverde C

5.3 Linealización de funciones Ajuste 1 I Ciclo, 2015 28 5.3 Linealización de funciones Direcciones Nomenclatura estándar: i = Punto de estación j = Puntería izquierda k = Puntería derecha N j rij i Ni OE Ei Profesor: José Francisco Valverde C

5.3 Linealización de funciones Ajuste 1 I Ciclo, 2015 29 5.3 Linealización de funciones Direcciones Ecuación de observación para direcciones Funciones linealizadas para la matriz A

5.4 Caso de observaciones no correlativas TGC424 Ajuste 1 Ajuste 1 I Ciclo, 2015 30 5.4 Caso de observaciones no correlativas Las correlaciones entre observaciones se contemplan en el modelo estocástico del ajuste, pero no se pueden estimar fácilmente. En el caso de existir correlaciones, la matriz de varianza-covarianza contendrá las varianzas de las observaciones y las covarianzas entre observaciones. La matriz de varianza-covarianza tendría elementos no nulos fuera de la diagonal. En la mayoría de los problemas geodésicos que se elaboran mediante el ajuste de observaciones es suficiente considerar una matriz de varianza-covarianza diagonal Las covarianzas aparecen en el ajuste cuando se calculan las incógnitas y su comportamiento estocástico Profesor: José Francisco Valverde C 2009 - 1

Programa ARGE Ajuste 1 I Ciclo, 2015 31 Profesor: José Francisco Valverde C

Programa ARGE Ajuste 1 I Ciclo, 2015 32 Profesor: José Francisco Valverde C

Programa ARGE Ajuste 1 I Ciclo, 2015 33 Profesor: José Francisco Valverde C

Programa ADJUST Ajuste 1 I Ciclo, 2015 34 Profesor: José Francisco Valverde C

Ajuste 1 I Ciclo, 2015 35 Programa ADJUST

Programa ADJUST Ajuste 1 I Ciclo, 2015 36 Profesor: José Francisco Valverde C

Ajuste 1 I Ciclo, 2015 37 Programa ADJUST Hasta ahora se han realizado lo cálculos de los problemas que requieren ajuste de forma “manual”, esto por cuanto el objetivo es conocer el algoritmo de ajuste y entender los cálculos necesarios para realizar los ajustes Sin embargo, en la práctica es muy común el uso de algún programa para resolver ajustes, ya que y como se puede deducir, si hay muchas observaciones e incógnitas, el calculo es tedioso En general y dependiendo del tipo de observaciones a ajustar, se pueden encontrar en el mercado algunos programas como: ARGE-DOGO, para el ajuste de observaciones horizontales y verticales Adjut, que es el programa que se comenta a continuación: Profesor: José Francisco Valverde C

2. Inicio-Todos los Programas-Launch Adjust Ajuste 1 I Ciclo, 2015 38 Programa ADJUST (Uso) 1. Instalar el programa 2. Inicio-Todos los Programas-Launch Adjust Profesor: José Francisco Valverde C

Pantalla principal del programa Ajuste 1 I Ciclo, 2015 39 Programa ADJUST (Uso) Pantalla principal del programa Profesor: José Francisco Valverde C

Programa ADJUST (Uso) Ajuste 1 I Ciclo, 2015 40 Profesor: José Francisco Valverde C

Ajuste 1 I Ciclo, 2015 41 Programa ADJUST (Uso) Ejemplo de Uso (datos tomados de documento elaborado por el Ing. Álvaro Álvarez Calderón, funcionario del Instituto Geográfico Nacional) Desde los puntos A, B, C, cuya posición se considera como fija, de efectuaron observaciones para determinar las coordenadas ajustadas de los puntos 1, 2 y 3 Las coordenadas de los puntos fijos y las coordenadas aproximadas de los puntos nuevos, se dan el en siguiente cuadro: Profesor: José Francisco Valverde C

Formato de los datos, observaciones horizontales Ajuste 1 I Ciclo, 2015 42 Programa ADJUST (Uso) Formato de los datos, observaciones horizontales Se tiene que generar un archivo txt, el cual se puede nombrar como se guste. Se debe seguir el siguiente orden: Primera línea: Titulo del Proyecto Segunda fila: AA BB CC DD EE AA = # de distancias BB = # de angulos CC = # de azimuts DD = # de puntos fijos o de control EE = total de puntos (incluye los de control) 9 0 0 3 6 Profesor: José Francisco Valverde C

Tercera y demás líneas: Coordenadas, en el siguiente orden: Ajuste 1 I Ciclo, 2015 43 Programa ADJUST (Uso) Tercera y demás líneas: Coordenadas, en el siguiente orden: Punto Este Norte A 2.259 18.127 B 6.823 2.007 C 18.802 15.848 Distancias, en el siguiente orden: Desde Hacia Distancia Desviación estándar en m A 1 7.5961 0.001 A 2 16.4094 0.001 Profesor: José Francisco Valverde C

Ángulos, en el siguiente orden (solo ángulos en formato sexagesimal) Ajuste 1 I Ciclo, 2015 44 Programa ADJUST (Uso) Ángulos, en el siguiente orden (solo ángulos en formato sexagesimal) PI Est PD Angulo Desviación estándar en seg. 1 A 3 38 45 52.34 5 2 A 3 32 12 20.67 5 PI = Puntería izquierda PD = Puntería derecha Est = Estación Profesor: José Francisco Valverde C

Formato de los datos, observaciones verticales Ajuste 1 I Ciclo, 2015 45 Programa ADJUST (Uso) Formato de los datos, observaciones verticales Se tiene que generar un archivo txt, el cual se puede nombrar como se guste. Se debe seguir el siguiente orden: Primera línea: Titulo del Proyecto Segunda fila: AA BB CC AA = # de bancos de nivel BB = # de diferencias de elevación CC = # total de estaciones (incluye los BN’s) Profesor: José Francisco Valverde C

Tercera fila: el nombre y la altura del (los) banco (s) de nivel Ajuste 1 I Ciclo, 2015 46 Programa ADJUST Tercera fila: el nombre y la altura del (los) banco (s) de nivel Nota: si hubieran mas bancos de nivel, el segundo se pondría en la línea 4, el tercero en la línea 5, etc. Después de poner la elevación de los puntos fijos (BN), se colocan las Diferencias de altura (observaciones), en el siguiente orden: Desde Hacia Dif. Nivel Desviación estándar en m A 1 17.5961 0.02 A 2 16.4094 0.01 Profesor: José Francisco Valverde C