Parámetros de Líneas de Transmisión Algunas configuraciones típicas 500 kV (345 500 E.A.T.) Dist. Fases externas 24m 150 kV (69 230 A.T.) 18m 31m Alt. cond. Alt. guardia 23m 24m 19m 765 kV U.A.T.

Conductores más utilizados ACSR – aluminiun conductor steel reinforced AACSR – alloy aluminium steel reinforced

AAAC – all-aluminium alloy conductor

Consideraciones adicionales respecto a conductores Arriba de 230 kV es preferible usar más de un conductor por fase, lo que es conocido como haz de conductores. El haz consiste de dos, tres o cuatro conductores. Con esto se logra incrementar el radio efectivo de la líneas así como reducir el campo eléctrico en la superficie de los conductores (gradiente superficial) y con esto minimizar los fenómenos asociados al efecto corona esto es: pérdidas, ruido audible y radio interferencia. Otra importante ventaja es la reducción de la reactancia de la línea. Aisladores de suspensión Porcelana

Determinación de los Parámetros de Líneas de Transmisión Vidrio templado Determinación de los Parámetros de Líneas de Transmisión Resistencia de los conductores La resistencia dc de un conductor sólido a una determinada temperatura está dada por: La resistencia del conductor es afectada por tres factores: - Constructivos, ejemplo al ser espiralado la longitud termina siendo algo mayor. - Efecto skin, aumenta del orden del 2% debido a este fenómeno. - Incremento con la temperatura, dentro de los rangos normales de utilización el comportamiento es líneas y puede ser determinado por: Donde R1 y R2 son las resistencias de los conductores a t1 y t2 (°C) respectiva- Mente, T constante de temperatura (228 para Al y 234.5 para el Cu). Dado los factores arriba, la resistencia del conductor es mejor determinada por la hoja de datos del fabricante, el que normalmente la determina por el ensayo:

Inductancia Una corriente eléctrica circulando a través de un conductor, crea un campo magnético en forma de lazos circulares que rodean al conductor (regla de la mano derecha). Si la corriente i(t) es variable en el tiempo, el campo magnético también lo será y en cualquier circuito eléctrico que concatene una porción del flujo magnético se inducirá una tensión dada por: El flujo concatenado es proporcional a la corriente que lo crea, siendo la constante de proporcionali- dad el denominado coeficiente de inducción L, que unicamente depende de la geometría de los circuitos. Considerando en primera instancia un único conductor dS dx x r La intensidad del campo magnético alrededor de un circulo de radio x es constante y tangente al circulo. La ley de Ampere la relaciona con la corriente : Donde es la corriente encerrada en el radio x

Inductancia interna dS dx x r Asumiendo densidad de corriente uniforme y despreciando el efecto skin, tenemos: Sustituyendo en la expresión anterior: Y siendo la densidad de flujo magnético dada por Donde es la permeabilidad magnética del vacío (o aire) y vale H/m tenemos que: El flujo para una pequeña área dS de ancho dx y largo unitario es: Entonces, cada punto interior del conductor a una distancia x del centro esta rodeado por Un flujo interior dado por: Por el hecho de la variación de la corriente respecto al radio, para calcular la inductancia debida a este flujo interno, se calculará su valor medio en toda la sección del conductor, como: Por lo que la inductancia interna vale: H/m Interesante notar que es constante.

Inductancia externa dS dx r D1 x D2 Desde que en este caso el circulo de radio x encierra la totalidad de la corriente El flujo para una pequeña área dS de ancho dx y largo unitario es: El flujo externo entre los puntos D1 y D2 que concatena al conductor está dado por: Entonces: H/m

Inductancia línea compuesta por dos conductores 1 2 D Para determinar la inductancia externa del conductor 1, debemos evaluar la integral anterior entre r y D, ya que más allá de D la corriente neta es cero por lo que no hay contribución neta al flujo magnético que concatena al circuito: H/m Por lo que la inductancia total del es: La ecuación anterior se puede reordenar como: Haciendo: H/m Analogamente: H/m

Flujo magnético en términos de impedancia propia y mutua Desde que I1=-I2 Comparando estas expresiones con las obtenidas para L1 y L2: Este concepto puede ser extendido para un grupo de n conductores desde que la suma de los n fasores de corriente sea igual a cero, por ejemplo para un sistema trifásico equilibrado donde: El flujo que concatena al conductor 1 vale: o NOTA: r’ se le denomina GMR, esto es radio medio geométrico, como se vió para un conductor cilindrico, vale En la práctica siendo conductores multi-hilos el GMR si bien se puede calcular considerando el radio propio de los hilos y las diferentes distancias entre estos, no entanto lo común es que el dato lo dé el fabricante.

Cálculo de la impedancia serie: gl Ig Lg Lcg Rg . g g Lag Lbg a al Ia Ra Laa c cl Ic Rc Lcc bl a b c Ib Lbb Rb Lab Lbc tierra b Lac Corriente de retorno por tierra Problema: determinación de la impedancia de una línea de transmisión AC en función de la frecuencia, considerando el retorno por tierra. Lo resuelve Carson (Bell) en 1926 para líneas telefónicas, su método es directamente aplicable a líneas de potencia. En 1976 Gary (EDF), propone una aproximación donde la tierra es substituida por un conjunto de conductores ficticios de retorno por tierra localizados a una profundidad compleja. Esto es la distancia entre los conductores ficticios y los reales son ¡Números Complejos!. En 1981 Deri (U. de Budapest) demuestra la correlación entre el método de Carson y el de Gary validando este último. Fines de los 90 aparecen los métodos basados en elementos finitos.

R es el dato de la resistencia del conductor dado La caída de tensión de cada conductor en un tramo de longitud l está dada por: Donde, por el método de profundidad compleja, los elementos de Z están dados por: R es el dato de la resistencia del conductor dado por el fabricante, según a la frecuencia que se haga el cálculo requerirá corrección por efecto skin Siendo: i k Plano ‘espejo’ complejo k’ i’ k’’ i’ , k’ conductores simétricos respecto al plano de tierra i’’ , k’’ conductores simétricos respecto al plano complejo i’’ La profundidad compleja está dada por: Donde es la resistividad del terreno en Permeabilidad del espacio libre =

Eliminación de (los) cables de guardia, variando el caso anterior suponiendo dos cables de z00 z0n [Vabc-Vabcl] Iabc [0] Ig zn0 znn Produce: [zabc] Matriz impedancia de fase Consideración adicional: 1 - Cuando una fase está formada por un haz de subconductores, a los efectos de los cálculos se usará el GMR (radio medio geométrico) equivalente, estos están dados por:

Esta función calcula la impedancias serie de una línea de transmisión: Función zser: Esta función calcula la impedancias serie de una línea de transmisión: Argumentos de entrada: Matriz coordenadas de los conductores y cables de guardia en m (estos al final). Vector datos del conductor: radio en mm, resistencia en /km, nro. subconductores y separación en cm, radio interno en mm (solo para efecto skin). Vector datos del cable de guardia: radio en mm, resistencia en /km radio interno en mm (solo para efecto skin). Resistividad del terreno .m. Frecuencia en Hz. Argumentos de salida, matrices de impedancia en Ohmios: Secuencia Traspuesta Fases Conductores y cables de guardia (antes de la eliminación de Ig). . 7m . Conductor: radio (GMR)= 15.19 mm Resis. = 0.0234 /km Haz de 3 subconductores separados 40cm Cable de guardia: radio (GMR)= 4.75 mm Resis. = 3.75 /km 10m 29m 20m =100 .m Datos de entrada para la función: xy=[-10 20;0 20;10 20;-7 29;7 29]; datc=[15.19 0.0234 3 40]; datn=[4.75 3.75]; ro=100; f=60; [z012,zt,zabc,z]= zser(xy,datc,datn,ro,f)

Función auxiliar de zser (y de yshunt): dcon, distancia entre conductores g1 . . g2 Los parámetros son dependientes de las distancias entre conductores y sus alturas, por lo tanto es útil crear una matriz que contenga toda esta información: a1 a2 ha1 a1b1 a1c1 a1a2 a1b2 a1c2 a1g1 a1g2 b1 b2 a1b’1 hb1 b1c1 b1a2 b1b2 b1c2 b1g1 b1g2 c1 c2 a1c’1 b1c’1 hc1 c1a2 c1b2 c1c2 c1g1 c1g2 a1a’2 b1a’2 c1a’2 ha2 a2b2 a2c2 a2g1 a2g2 a1b’2 b1b’2 c1b’2 a2b’2 hb2 b2c2 b2g1 b2g2 a1c’2 b1c’2 c1c’2 a2c’2 b2c’2 hc2 c2g1 c2g2 a1g’1 b1g’1 c1g’1 a2g’1 b2g’1 c2g’1 hg1 g1g2 c’1 c’2 a1g’2 b1g’2 c1g’2 a2g’2 b2g’2 c2g’2 g1g’2 hg2 b’1 b’2 a’1 a’2 . . g’1 g’2 Conductores imágenes: Conductores ficticios simétricos a los originales respecto a tierra.

Matriz coordenadas de los conductores. Argumento de salida : Función dcon La siguiente es una función en la que dadas las coordenadas de los conductores de una línea de transmisión, arma la matriz distancias definidas anteriormente. Argumento de entrada: Matriz coordenadas de los conductores. Argumento de salida : Matriz distancias entre conductores. y Datos de entrada: g1 . . g2 xa1 ya1 a1 a2 xb1 yb1 xc1 yc1 xa2 ya2 b1 b2 xb2 yb2 c1 c2 xc2 yc2 xg1 yg1 xg2 yg2 x . . Ejemplo: 6 » xy=[-12 20;0 20;12 20;-6 24;6 24] xy = -12 20 0 20 12 20 -6 24 6 24 24 12 20 . . » dcon(xy) ans = 20.0000 12.0000 24.0000 7.2111 18.4391 41.7612 20.0000 12.0000 7.2111 7.2111 46.6476 41.7612 20.0000 18.4391 7.2111 44.4072 44.4072 47.5395 24.0000 12.0000 47.5395 44.4072 44.4072 49.4773 24.0000

Matriz de impedancia traspuesta La línea de transmisión en si es un elemento desequilibrado en un sistema de transporte debido a las distancias, y por lo tanto inductancias, no uniformes Para transformarlo en un elemento equilibrado se recurre a torres de transposición Con las mismas se logra que cada conductor a lo largo del recorrido de la línea pase por las tres fases estando en cada una de ellas los mismos kilómetros: A i m k B k i m C m k i La impedancia traspuesta está dada por: Matriz de impedancia de componentes de secuencia Donde la matriz [A] vale : Siendo:

El resultado de ejecutar el caso propuesto es: z012 = 0.3066 + 1.2214i -0.0000 + 0.0000i -0.0000 + 0.0000i -0.0000 + 0.0000i 0.0082 + 0.3423i -0.0000 -0.0000 + 0.0000i -0.0000 + 0.0000i 0.0082 + 0.3423i zt = 0.1077 + 0.6353i 0.0995 + 0.2930i 0.0995 + 0.2930i 0.0995 + 0.2930i 0.1077 + 0.6353i 0.0995 + 0.2930i 0.0995 + 0.2930i 0.0995 + 0.2930i 0.1077 + 0.6353i zabc = 0.1066 + 0.6359i 0.1002 + 0.3101i 0.0980 + 0.2589i 0.1002 + 0.3101i 0.1099 + 0.6341i 0.1002 + 0.3101i 0.0980 + 0.2589i 0.1002 + 0.3101i 0.1066 + 0.6359i z = Columns 1 through 4 0.0648 + 0.6681i 0.0570 + 0.3432i 0.0569 + 0.2909i 0.0565 + 0.3477i 0.0570 + 0.3432i 0.0648 + 0.6681i 0.0570 + 0.3432i 0.0565 + 0.3338i 0.0569 + 0.2909i 0.0570 + 0.3432i 0.0648 + 0.6681i 0.0565 + 0.2944i 0.0565 + 0.3477i 0.0565 + 0.3338i 0.0565 + 0.2944i 3.8060 + 0.9212i 0.0565 + 0.2944i 0.0565 + 0.3338i 0.0565 + 0.3477i 0.0560 + 0.3188i Column 5 0.0565 + 0.2944i 0.0565 + 0.3338i 0.0565 + 0.3477i 0.0560 + 0.3188i 3.8060 + 0.9212i

Cálculo de la capacitancia: Las líneas de transporte tienen las siguientes capacitancias asociadas: qg qb qa qc -qb Conductores imágenes con carga igual y de signo contrario a los originales, sirven para modelar el efecto de la tierra la que impone una superficie equipotencial cero. -qa -qc . a -qg qa r Aplicando la ley de Gauss, para un metro de conductor cilíndrico, la intensidad del campo eléctrico está dada por: 2h Siendo la constante dieléctrica del vacío, la que es igual a 8.85.10-12 F/m r -qa La diferencia de potencial entre dos cilindros desde la posición D1 a D2 es definido como el trabajo necesario para mover una carga de un Coulomb desde D2 a D1: a’ q D1 D2 Aplicándolo al sistema a-a’, tenemos que, considerando el conductor a aislado, la diferencia de potencial entre el conductor a y a’ es: Análogamente para el conductor a’: o lo que es lo mismo: Aplicando superposición: Como nos interesa el potencial respecto a tierra, esto es, la mitad entre aa’:

cargas se puede representar como: De forma similar, el potencial en el conductor a debido a las cargas de los conductores b y b’ está dado por: ab qa qb b ab’ -qb b’ Aplicando superposición, las tensiones referidas a tierra debido a la presencia de todas las cargas se puede representar como: Las tensiones referidas a tierra son función de las cargas y están dadas por: Donde [P] se le conoce como la matriz de los coeficientes potenciales de Maxwell y está dada por:

Rescribiendo el sistema de ecuaciones y realizando la siguiente partición: P0n [Vabc] qabc [0] qn Pn0 Pnn [Pabc] Sabiendo que por definición la capacitancia está dada por: La capacitancia de línea está dada entonces por: [Cabc]=[Pabc]-1 Observación: 1 - [Cabc] es una matriz nodal Los elementos de la diagonal Cii es la suma de las capacitancias entre la fase i y el resto de las fases. y los elemento Cij son el negativo de la capacitancia entre las fase i y la j. 2 - Cuando una fase está formada por un haz de subconductores, al igual que en el cálculo de la impedancia se utilizan las formulas ya presentadas del radio medio geométrico .

Ejemplo El archivo zyfa.m estudia la variación de la reactancia serie y admitancia paralelo (sec. positiva) en función del área de los conductores de una línea de transmisión. Se estudian 4 casos: para 1, 2, 3 y 4 subconductores, tal que en todos los casos la sección total sea la misma (o sea la sección del subconductor del caso 1 es igual a la suma de las secciones de los dos subconductores del caso 2 etc.). Para cada caso (nro. de subconductores) se varia la sección de 500 a 3000 mm2 de 10 en 10, se calcula el radio en función de la sección y número de subconductores: xy=[-10 20;0 20;10 20;-7 29;7 29]; % Datos de entrada datc=[15.19 0.0234 3 40]; datn=[4.75 3.75]; ro=100; f=60; for ns=1:4 % n lleva el numero de subconductores datc(3)=ns; % Se actualiza el nro. de subconductores k=0; % Indice para recorrer las filas de cada columna (ns) for A=500:10:3000 % Rango de variación de la sección k=k+1; datc(1)=sqrt(A/(ns*pi)); % Cálculo del radio [z012]=zser(xy,datc,datn,ro,f); [y012]=yshunt(xy,datc,datn,ro,f); X(k,ns)=imag(z012(2,2)); % Calculo reac. serie sec. positiva Y(k,ns)=1e6*imag(y012(2,2)); % Cálculo admitancia paralela sec. positiva. end A=500:10:3000; % Abscisa figure(1) % Sentencias de ploteo plot(A,X); title('Reactancia serie') xlabel('Sección en mm2') ylabel('ohm/km') legend('1','2','3','4') grid figure(2) plot(A,Y); title('Admitancia paralelo') ylabel('umho/km')

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