Conjuntos fuzzy 1

2

 1965: Propuestos por Lotfi A. Zadeh, University of California, Berkeley  70’s primeras aplicaciones (Mamdani)  80’s aplicaciones industriales. Operación de un tren en Senday, Japon.  1986: Chip VLSI  90’s productos de consumo. Camaras, lavadoras  1994: Toolbox de MatLab 3

 Alguna propiedad de x determina su pertenencia al conjunto A 4

 Tradicionalmente un conjunto ( S ) se caracteriza como: El conjunto de numeros naturales menores que cinco 5

6

Perfil subjetivo 7

 Un conjunto difuso (A) sobre el dominio (universo) X  es un conjunto definido por la funcion de pertenencia μ A (x),  la cual es un mapeo desde el universo X al intervalo unitario 8

 Un conjunto difuso (A) se caracteriza:  donde X es el universo de discurso, y µ A la función de pertenencia.  Para cada elemento x, µ A (x) es el grado de pertenencia al conjunto difuso A. 9

 Habitualmente se utilizan funciones de pertenencia estándar cuya representación nos da una determinada forma.  Nos permite representar las funciones de forma compacta, a la vez que se simplifican los cálculos. X µAµA Conjunto Triangular X µAµA Conjunto Trapezoidal 10

 Como una lista de pares pertenencia/elemento  Formula analitica para la funcion (grado) de pertenencia 11

 Definiciones basicas y terminologia 12

 Definicion formal : Un conjunto fuzzy A en X se expresa como un conjunto de pares ordenados: Universo o Universo del discurso Conjunto fuzzy Funcion de pertenencia (MF) Un conjunto fuzzy esta completamente caracterizado por una funcion de pertenencia 13

 A = “numero razonable de hijos” X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} (universo discreto) A = {(0,.1), (1,.3), (2,.7), (3, 1), (4,.6), (5,.2), (6,.1)} 14

 B = “cerca de 50 años de edad” X = Conjunto de numeros reales positivos (continuo) B = {(x,  B (x)) | x in X} 15

 Alternativamente un conjunto fuzzy A puede ser denotado como sigue: X es discreto X es continuo Note que los signos  e integral establecen la union de los grados de pertenencia; el signo “/” es un marcador y no implica division. 16

 Particion fuzzy formada por los valores linguisticos “young”, “middle aged”, y “old”: lingmf.m 17

 Soporte: el conjunto de elementos cuyo grado de pertenencia es distinto de cero. 18

 Altura: el grado de pertenencia más grande de los elementos del conjunto.  Conjunto normal: Height ( A ) = 1 19

 Core: (Kernel) el conjunto de elementos cuyo grado de pertenencia es igual a uno. 20

 Corte-Alfa 21

 Support  Core  Crossover points  a-cut MF X Core Crossover points Support  - cut  22

 Numeros Fuzzy 23

 Cero  Casi Cero u Cerca de Cero 24

 Numero fuzzy: Es un conjunto fuzzy,  Convexo  Normalizado  Funcion de pertenencia definida en ℜ y continua a trozos 25

Intervalo fuzzy

 Mas Definiciones 27

 El conjunto singleton A 28 El conjunto singleton es muy util en la construccion de sistemas fuzzy

 Un conjunto fuzzy A es convexo si para cualquier en [0, 1], convexmf.m 29

 Operaciones con Conjuntos Fuzzy 30

 Subconjunto: subset.m

 Complemento :

 Union: 33

 Interseccion: 34

 Funciones de pertenencia tipicas 35

 MF Triangular : 36

MF Trapezoidal: 37

38 MF Gausiana:

39 MF Campana generalizada :

 Conjuntos fuzzy multidimencionales 40

41

42

Conjunto base AExt. cilindrica de A cyl_ext.m 43

44

45

MF en dos dimensiones Projeccion en X Projeccion en Y project.m 46

Una operación entre conjuntos fuzzy en dominios diferentes resulta en un conjunto fuzzy multidimensional 47

mf2d.m 48

 Operadores generalizados 49

 Complemento:NOT  Interseccion:AND  Union:OR 50

 requiremientos Generales:  Frontera: N(0) = 1 and N(1) = 0  Monotonicidad: N( a ) > N( b ) if a < b  Involucion: N(N( a )) = a 51

 Dos tipos de complementos fuzzy:  Complemento de Sugeno:  Complemento de Yager: 52

negation.m Complemento de Sugeno: Complemento de Yager: 53

 Las norma y conorma triangulares generalizan operaciones con conjuntos  Norma-T:  generaliza el concepto de intersección  Conorma-T:  generaliza el concepto de unión 54

 Requerimientos basicos:  Frontera: T(0, 0) = 0, T(a, 1) = T(1, a) = a  Monotonicidad: T(a, b) < T(c, d) if a < c and b < d  Commutatividad: T(a, b) = T(b, a)  Asociatividad: T(a, T(b, c)) = T(T(a, b), c) 55

 Cuatro ejemplos:  Minimo: T m (a, b) = min(a, b )  Producto algebraico: T a (a, b) = a * b  Producto acotado: T b (a, b)  Producto drastico: T d (a, b) 56

Minimum: T m (a, b) Algebraic product: T a (a, b) Bounded product: T b (a, b) Drastic product: T d (a, b) tnorm2.m 57

 Requerimientos basicos:  Frontera: S(1, 1) = 1, S(a, 0) = S(0, a) = a  Monotonicidad: S(a, b) < S(c, d) if a < c and b < d  Commutatividad: S(a, b) = S(b, a)  Associatividad: S(a, S(b, c)) = S(S(a, b), c) 58

 Cuatro ejemplos:  Maximo: S m (a, b) = max(a,b)  Suma algebraica: S a (a, b) = a+b-a*b  Suma acotada: S b (a, b)  Suma drastica: S d (a, b) 59

tconorm.m Maximum: S m (a, b) Algebraic sum: S a (a, b) Bounded sum: S b (a, b) Drastic sum: S d (a, b) 60

 Las normas-T y conormas-T son duales si soportan la generalizacion de la ley de DeMorgan:  T(a, b) = N(S(N(a), N(b)))  S(a, b) = N(T(N(a), N(b))) T m (a, b) T a (a, b) T b (a, b) T d (a, b) S m (a, b) S a (a, b) S b (a, b) S d (a, b) 61 min-max algebraica acotada drastica

 Normas-T y conormas-T duales parametrizadas han sido propuestas por varios investigadores:  Yager  Schweizer and Sklar  Dubois and Prade  Hamacher  Frank  Sugeno  Dombi 62

Norma-tConorma-trango autor Schweizer &Sklar [69] Hamacher [70] Yager [72] Dombi [74] 63

 J.-S. Roger Jang, Slides for Fuzzy Sets, Ch. 2 of Neuro-Fuzzy and Soft Computing. CS Dept., Tsing Hua Univ., Taiwan.  Humberto Martínez Barberá, Control Difuso. Universidad de Murcia  Robert Babuska. Fuzzy and neural control. DISC Course Lecture Notes (October 2001)  Robert Babuska. Course Fuzzy and Neural Control, 2001/

 R. Babuska, H.B. Verbruggen, H. Hellendoorn, Promising Fuzzy Modeling and Control Methodologies for Industrial Applications, 1999  René Jager, Fuzzy Logic in Control. PHD thesis,  Javier Echauz, Sistemas y Controles Inteligentes, Universidad de Puerto Rico, 2000  L.X. Wang, “Adaptive Fuzzy Systems and Control: Design and Stability Analysis”, Prentice-Hall,