Problemas de Mecánica de Medios Continuos TEMA 2 DESCRIPCIÓN DE LA DEFORMACIÓN X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Sobre el sólido de la figura, se produce una deformación uniforme con las siguientes consecuencias: C 1 Los ejes x, z son dos líneas materiales. El punto A no se mueve. B C E D A F y z x a X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos E’ C 2 El volumen del sólido no varía. C 3 El ángulo no varía. A’ B‘

X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Planteamiento de problema C 4 El ángulo se incrementa en r radianes. C 5 El segmento pasa a medir 1+ p veces su longitud inicial. B C E D A F y z x a X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Planteamiento de problema C 6 El área del triángulo ABE pasa a ser 1+ q veces su valor inicial. B C E D A F y z x a X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos NOTA: Los valores de p, q y r son pequeños y pueden despreciarse infinitésimos de segundo orden.

X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Planteamiento de problema Se pide : 1) Expresar el campo de desplazamientos en función de valores “genéricos” de las deformaciones y rotaciones. B C E D A F y z x a X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Planteamiento de problema Se pide : 2) Identificar las componentes nulas del tensor de deformaciones y expresar el vector de rotaciones en función de las componentes del tensor de deformaciones. B C E D A F y z x a X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Planteamiento de problema Se pide : 3) Obtener el tensor de deformaciones, el vector de rotación y el campo de desplazamientos en función de p, q y r. B C E D A F y z x a X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA 1) Se pide expresar el campo de desplazamientos en función de valores “genéricos” de las deformaciones y rotaciones. Puesto que tenemos deformación uniforme el tensor gradiente material de la deformació F sólo depende del tiempo: X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos La relación entre el tensor gradiente material de la deformación F y el tensor gradiente material de los desplazamientos J es: Dada esta relación, si F no depende de la partícula J tampoco dependerá de ella.

Resolución del problema Teniendo en cuenta la definición de J e integrando quedará lo siguiente: Integrando esta expresión, tenemos: X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Siendo C(t) una constante de integración. Observación: Nótese que al ser deformación uniforme el campo de desplazamientos es lineal.

X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Resolución del problema Dado que p, q y r son pequeños, estamos en el contexto de las deformaciones infinitesimales… Hipótesis: a Los desplazamientos son muy pequeños frente a las dimensiones típicas del medio continuo . Las configuraciones de referencia y actual se consideran indistinguibles una de otra, en consecuencia las coordenadas materiales y espaciales así como sus respectivas descripciones coinciden. X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos b Los gradientes de los desplazamientos son muy pequeños (infinitesimales). Matemáticamente puede escribirse como:

X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Resolución del problema Consideremos el tensor de deformación infinitesimal: ...que se expresa como una matriz simétrica: X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Asimismo el tensor infinitesimal de rotación es: ...que se representa como una matriz antisimétrica en función de los valores “genéricos” de las rotaciones :

X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Resolución del problema Sumando estas dos expresiones obtenemos el tensor gradiente de los desplazamientos: X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Expresando esta última relación matricialmente obtenemos:

X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Resolución del problema De esta forma el campo de desplazamientos resulta ser: X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Finalmente obtenemos el siguiente resultado:

Los desplazamientos de A son nulos: Las coordenadas del punto A son: Resolución del problema 2) Se pide identificar las componentes nulas del tensor de deformaciones y expresar el vector de rotaciones en función de las componentes del tensor de deformaciones. Imponiendo que el punto A no se mueve se obtienen las constantes del campo de desplazamientos. Los desplazamientos de A son nulos: X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Las coordenadas del punto A son: B C E D A F y z x a A’

X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Resolución del problema El eje “x” es una linea material. Un punto que pertenece inicialmente al eje x permanece sobre el eje x a lo largo del tiempo, puesto que x es línea material... ...para estos puntos, pertenecientes al eje x, no existen desplazamientos en las componentes “y” y “z”. Línea material es aquella que está siempre constituida por las mismas partículas (puntos materiales) B C E D A F y z x a B‘ E’ X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos B C E D A F y z x a B‘

X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Resolución del problema El eje “z” es una linea material. Análogamente, un punto que pertenece inicialmente al eje z permanece sobre el eje z a lo largo del tiempo, puesto que z es línea material... ...para estos puntos,pertenecientes al eje z, no existen desplazamientos en las componentes “x” e “y”. X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos B C E D A F y z x a E’

X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Resolución del problema Substituyendo los valores obtenidos, en la expresion del vector de rotaciones tenemos: X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Análogamente y para el tensor de pequeñas deformaciones:

X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Resolución del problema El ángulo no varía: El incremento del ángulo se expresa como: X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos ...donde se ha tenido en cuenta el carácter infinitesimal de las componentes del tensor de pequeñas deformaciones. B C E D A F y z x a Puesto que el ángulo no varía, su incremento será nulo.

X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Resolución del problema Sustituyendo el valor de obtenido, en las anteriores expresiones: X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos las componentes del tensor de pequeñas deformaciones y del vector de rotaciones son:

X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Resolución del problema 3) Se pide obtener el tensor de deformaciones, el vector de rotación y el campo de desplazamientos en función de p , q y r. Imponemos la condición de deformación volumétrica nula. Puesto que el volumen del sólido no varía la deformación volumétrica “e” es nula. B C E D A F y z x a X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos B C E D A F y z x a

X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Resolución del problema El ángulo se incrementa en r radianes: Recordando la expresión de la variación angular tenemos: X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Recuperamos la expresión del tensor de deformaciones calculado en el segundo apartado... B C E D A F y z x a ...teniendo en cuenta las expresiones encontradas:

X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Resolución del problema El segmento pasa a medir 1 + p veces su longitud inicial: Estiramiento: es la longitud del segmento diferencial ds deformado, por unidad de longitud del segmento diferencial original dS. Puesto que es funcion de y este solo depende del tiempo, el estiramiento solo dependerá del tiempo. la relacion entre el estiramiento y el tensor de pequeñas deformaciones es: Dado que no depende de la posición, puede salir de la integral Calculamos la longitud del segmento deformado como: X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos B C E D A F y z x a Sustituyendo por la anterior expresion obtenemos el valor del estiramiento.

X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Resolución del problema La relación entre el tensor de pequeñas deformaciones y el estiramiento nos da una nueva ecuación para resolver el problema. Para ello debemos encontrar el vector unitario t , de misma dirección que el segmento y de módulo la unidad. X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Las coordenadas de los puntos A y F son: B C E D A F y z x a Finalmente obtenemos t como:

X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Resolución del problema Recuperando la expresión del alargamiento tenemos: X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos ...operando el producto matricial se obtiene:

X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos El área del triángulo ABE pasa a ser 1+ q veces su valor inicial. Para un triángulo este diferencial de área es el módulo del vector normal al plano que define dicho triángulo. Podemos expresar el área total A, como un diferencial de área extendido a lo largo de todo el triángulo ABE. El vector normal a un plano es el módulo del producto vectorial definido por dos vectores que pertenecen a dicho plano. X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos B C E D A F y z x a Para el triangulo ABC dichos vectores siguen la dirección de los ejes que configuran el triángulo, és decir, dos vectores diferenciales de posición en las direcciónes “x” e “y” .

X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Resolviendo el producto vectorial de dichos vectores. Análogamente encontramos el diferencial de área una vez el sólido se ha deformado. X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Donde y son los vectores del plano del triángulo después de la deformación, valores que podemos obtener a partir del tensor gradiente de la deformación. B C E D A F y z x a B‘ E’

X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Para resolver el problema, es necesario calcular el tensor F. Se puede expresar el tensor gradiente de la deformación , en función del tensor de pequeñas deformaciones y del tensor infinitesimal de rotación : X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Teniendo en cuenta las componentes nulas de dichos tensores, encontradas en el segundo apartado:

X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Encontramos los vectores una vez aplicada la deformación, con un cambio de coordenadas, de matriz el tensor F X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Calculamos el diferencial de área después de la deformación.

Puesto que no depende de la posición, puede salir de la integral Encontramos el módulo del diferencial de área. Despreciamos los términos de segundo orden en deformación infinitesimal Puesto que no depende de la posición, puede salir de la integral X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Comparamos este resultado con el obtenido antes de aplicar la deformación. Calculamos el área total en ambos casos, antes y después de la deformación.

X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Finalmente relacionamos el resultado obtenido, con los datos del problema. X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Sustituyendo estos valores en la expresión del tensor de pequeñas deformaciones obtenemos:

X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Análogamente y para el vector de rotaciones obtenemos: Finalmente la expresión del vector de rotaciones y del tensor de pequeñas deformaciones es: X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Análogamente y para el campo de desplazamientos obtenemos: X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos Expresándo vectorialmente el anterior resultado, la solución es: