Departamento de Matemática TJPD Teselasiones

(Mosaicos – Embaldosados) Teselaciones (Mosaicos – Embaldosados) Se realizaron desde tiempos muy antiguos, sin embargo, su historia y su estudio en la matemática es reciente. Alhambra de Granada

(Mosaicos – Embaldosados) Teselaciones (Mosaicos – Embaldosados) Se producen cuando se recubre un plano con baldosas que no dejen huecos y que no se superpongan (encajan bien)

(Mosaicos – Embaldosados) Teselaciones (Mosaicos – Embaldosados) Existen diferentes tipos de los cuales podemos distinguir: Regulares Semi Regulares …

Los mosaicos regulares Se logran a partir de la repetición y traslación de un mismo polígono regular. Existen únicamente tres tipos de tales mosaicos que son familiares por el embaldosado de los pisos y se forman con: triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos regulares.

Triángulos Equiláteros Trasladando el polígono en esas direcciones se obtiene el respectivo mosaico a 60° b O Tiene una simetría rotacional de orden 6 (360°/6 = 60°).

Cuadrados Tiene una simetría rotacional de Trasladando el polígono en esas direcciones se obtiene el respectivo mosaico a 90° b O O Tiene una simetría rotacional de orden 4 (360°/4 = 90°). Es un mosaico que se observa con frecuencia en los pisos y en los papeles cuadriculados y milimetrados.

Hexágonos Tiene una simetría rotacional de 60° 120° O Tiene una simetría rotacional de orden 3 (360°/3 = 120°) y de orden 6. Es un mosaico que se observa bastante en los pisos y en los panales de abejas.

Un plano no se puede teselar con pentágonos regulares pues no encajan bien, por ello no existen mosaicos regulares pentagonales (los pisos de las viviendas no se pueden embaldosar con pentágonos regulares)

360° = 72° 180-72=108 5 3ß = 3 x 108° = 324° O Con tres pentágonos regulares alrededor del punto O no se cubren 360°, ya queda un hueco.

(Mosaicos – Embaldosados) Teselaciones (Mosaicos – Embaldosados) Los semirregulares: Existen sólo 8 tipos En éstos se combinan dos o más polígonos regulares bien acoplados y distribuidos, de tal modo que en todos los vértices aparecen los mismos polígonos. Se forman utilizando triángulos, cuadrados, pentágonos, hexágonos, octógonos y dodecágonos.

Los distintos tipos de teselaciones semi regulares:

Polígonos Regulares (4 , 6 , 12) lados 90°+120°+150°= 360° Polígonos n Nombre Ángulo central Ángulo interior 3 triángulo 120° 60° 4 cuadrado 90° 5 pentágono 72° 108° 6 hexágono 8 octógono 45° 135° 10 decágono 36° 144° 12 dodecágono 30° 150° 360/n 180(n-2)/n Polígonos (4 , 6 , 12) lados 90°+120°+150°= 360°

Teselación (3,3,3,3,6) 4 ∙ 60°+ 1 ∙ 120°= 360° (3,3,3,3,6) significa que podemos crear una teselación semi-regular tomando como patrón base cuatro triángulos y un hexágono.

Mosaico (3,3,3,4,4) 60°∙3 + 90°∙ 2 = 360°

Mosaico (3,12,12) 1 ∙ 60° + 2 ∙ 150 = 360

Mosaico (4,3,4,6) 2 ∙ 90° + 1 ∙ 60° + 1 ∙120° = 360°

Mosaico (4,8,8) 1 ∙ 90° + 2 ∙ 135° = 360°

Mosaico (4,6,12) 1 ∙ 90° + 1 ∙ 120°+ 1 ∙ 150° = 360°

Mosaico (3,6,3,6) 2 ∙ 60° + 2 ∙ 120 = 360°

Mosaicos de Escher (Holandés, 1898-1972) Maurits Cornelis Escher, visitó Granada el año 1936 y allí estudió detenidamente la decoración de las paredes, techos y pisos islámicos de La Alhambra (el gran palacio construido por los moros durante los s. XIII-XIV).

(Mosaicos – Embaldosados) Teselaciones (Mosaicos – Embaldosados) Observó los motivos islámicos en las paredes, todos ellos de tipo geométrico, donde por cuestiones religiosas no hay figuras humanas ni de animales. Allí realizó sus dibujos y descubrió las diecisiete posibilidades de teselar el plano (los 17 grupos de simetría del plano). Durante una labor de cerca de treinta años, Escher creó más de cien teselaciones periódicas de un plano utilizando una gran variedad de motivos.

Para construir tales mosaicos a partir de polígonos que teselan el plano, debe mantenerse el principio de conservación de áreas, esto es, si quitamos una parte hay que colocarla con igual área en otra parte Un ejemplo

Creación de un “pez volador” (M.C. Escher) a partir de un triángulo equilátero.

Observa cómo con pequeñas variaciones en las curvas aparecerá la figura de un pájaro en vez de un pez volador.

Sky and Water I 1938 woodcut Metamorfosis

(8 cabezas, grabado en madera) Eight Heads 1922 woodcut (8 cabezas, grabado en madera) invertir

(8 cabezas, grabado en madera) ¿Las puedes ubicar? Eight Heads 1922 woodcut (8 cabezas, grabado en madera)

Metamorphosis III 1967-1968 Path of Life III 1966 woodcut in red and black, printed from 2 blocks

Para ejercitar

Actividades a realizar Guía Interactiva con programa Teselmanía Hacer un diseño de creación propia.

Fin