INTEGRACIÓN POR PARTES @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceao a CFGS

INTEGRACIÓN POR PARTES Cuando la integral no se pueda resolver por ninguno de los tres métodos anteriores o pudiendo hacerse no se vea claro el cambio de variable a emplear, se recurre a la integración por partes: Sea  f(x).g(x) dx , en general. [ puede que f(x)= 1 , o que g(x)=1 ]  f(x).g(x)dx =  u. dv = u.v -  v du f(x) = u  f ’(x) dx = du g(x) dx = dv   g(x) dx =  dv = v La segunda integral ,  v du , suele ser inmediata. De no serlo, o nos hemos equivocado en los cambios de variables ( u y v) o tendremos que volver a realizar otra integración por partes al ser la integral CÍCLICA. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceao a CFGS

EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES  f(x). g(x)dx =  u. dv = u EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES  f(x).g(x)dx =  u. dv = u.v -  v du x 1 - Calcular  x e dx cambio de variables: x = u  dx = du ; x x e dx = dv   e dx = v x x x x quedándonos I = x.e -  e dx = x.e - e + C 2. Calcular  L x dx. cambio de variables: Lx = u  1/x dx = du ; dx = dv   dx = v quedándonos I = Lx .x -  x . 1/x dx = Lx . x -  dx = Lx . x - x + C @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceao a CFGS

EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES  f(x).g(x)dx =  u. dv = u.v -  v du 3 - Calcular  x2 ex dx cambio de variables: x2 = u  2x dx = du ; ex dx = dv   ex dx = ex = v quedándonos I = x2 ex -  2x ex dx Calculamos  2x ex dx. cambio de variables: 2x = u  2 dx = du ; ex dx = dv   ex dx = ex = v quedándonos I = x2 ex - [ 2x. ex -  2 ex dx ] = = x2 ex - 2x. ex + 2 ex + k @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceao a CFGS

EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES  f(x).g(x)dx =  u. dv = u.v -  v du 4 - Calcular  x2 sen x dx cambio de variables: x2 = u  2x dx = du ; sen x dx = dv   sen x dx = - cos x = v quedándonos I = - x2 cos x -  - 2x cos x dx Calculamos  - 2x cos x dx. cambio de variables: - 2x = u  - 2 dx = du ; cos x dx = dv   cos x dx = sen x = v quedándonos I = - x2 cos x - [ - 2x sen x -  - 2 sen x dx ] = = - x2 cos x + 2x. sen x + 2 cos x + k @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceao a CFGS

INTEGRAL CÍCLICA x Calcular  sen x. e dx   f(x). g(x)dx =  u INTEGRAL CÍCLICA x Calcular  sen x .e dx   f(x).g(x)dx =  u. dv = u.v -  v du Veamos sen x dx = dv  v =  sen x dx = - cos x + C x x e = u  du = e dx x x x x I = e (- cos x ) -  - cos x . e dx = - e . cos x +  e . cos x dx Nueva integración por partes: Veamos cos x dx = dv  v =  cos x dx = sen x + C x x x I = - e . cos x + e sen x -  e . sen x dx x x 2. I = e ( sen x – cos x ) , luego I = e ( sen x – cos x ) / 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceao a CFGS