Matemática Discreta 1 Curso 2007 Prof. Eduardo A. Canale

Información útil Web: Web: Web antigua: Web antigua: Bibliografía: Matemáticas Discreta y Combinatoria de R. P. Grimaldi. Bibliografía: Matemáticas Discreta y Combinatoria de R. P. Grimaldi. Elementos de Matemáticas discretas de C. L. Liu. Elementos de Matemáticas discretas de C. L. Liu.

Teórico Lunes 13:30 a 15:00 Salón A01 Lunes 13:30 a 15:00 Salón A01 Jueves de 13:00 a 14:30 Salón A11 Jueves de 13:00 a 14:30 Salón A11 Coordinador del curso : Nancy Guelman

Prácticos Iguales a los de la año pasado (WEB) Iguales a los de la año pasado (WEB) Prácticos: Prácticos: G4 Mi y Vi 17:00 a 18:30 Salón 103 con Sebastián Sensale G4 Mi y Vi 17:00 a 18:30 Salón 103 con Sebastián Sensale G5 Mi y Vi 17:00 a 18:30 Salón 014 y 401 con Andrés Corez G5 Mi y Vi 17:00 a 18:30 Salón 014 y 401 con Andrés Corez G6 Mi y Vi 15:30 a 17: y 101 con Sebastián Sensale G6 Mi y Vi 15:30 a 17: y 101 con Sebastián Sensale

Temas del curso Combinatoria Combinatoria Relaciones Relaciones Grafos Grafos

Aprobación del curso Combinatoria, (1 er Parcial) 40 ptos Combinatoria, (1 er Parcial) 40 ptos Relaciones Relaciones Grafos Grafos Exoneración: 60 puntos 2 do parcial 60 ptos

Combinatoria Técnicas básicas de conteo Técnicas básicas de conteo Inducción completa Inducción completa Principio de Inclusión-exclusión Principio de Inclusión-exclusión Principio del palomar Principio del palomar Relaciones de recurrencia Relaciones de recurrencia Funciones generatrices Funciones generatrices

Combinatoria Técnicas básicas de conteo (Grimaldi Cap 1) Técnicas básicas de conteo (Grimaldi Cap 1) Reglas de la suma y el producto (1.1) Reglas de la suma y el producto (1.1) Arreglos con y sin repetición(1.2) Arreglos con y sin repetición(1.2) Permutaciones con y sin repetición (1.2) Permutaciones con y sin repetición (1.2) Combinaciones sin repetición (1.3) Combinaciones sin repetición (1.3) Teorema del binomio (1.3) Teorema del binomio (1.3) Combinaciones con repetición (1.4) Combinaciones con repetición (1.4)

Combinatoria ¿Qué es la combinatoria? ¿Qué problemas trata de resolver? ¿Para qué sirve? ¿Cuándo surgió?

Combinatoria ¿Qué es la combinatoria? Del lat. combināre = com binare Com = unir Binare= dos cosas. Unir dos o más cosas para formar un nuevo objeto.

Combinatoria Combinación de objetos: ¿Se puede? ¿Se puede? ¿Cómo? ¿Cómo? ¿Cuánto? ¿Cuánto? Propiedades Propiedades

Combinatoria Combinación de objetos: ¿Se puede?  Existencia ¿Se puede?  Existencia ¿Cómo?  Algoritmos ¿Cómo?  Algoritmos ¿Cuánto?  Conteo ¿Cuánto?  Conteo Propiedades: Estudio cualitativo (Grafos) Propiedades: Estudio cualitativo (Grafos)

Técnicas básicas de conteo Regla del producto: Regla del producto: Si para formar los objetos en el 1 er paso tenemos m posibles salidas y en el segundo n posibles salidas independientes del paso anterior el total de objetos formados será m  n

Técnicas básicas de conteo Regla del producto Regla del producto Arreglos con repetición AR m n = m n Arreglos con repetición AR m n = m n Arreglos sin repetición A m n = m(m-1)…(m-n+1) Arreglos sin repetición A m n = m(m-1)…(m-n+1) Permutaciones (sin repetición): A m m = m! Permutaciones (sin repetición): A m m = m! Arreglos con repetición Arreglos con repetición

Libros de matemática

Permutaciones con repetición Ejemplo: Ejemplo: 1. aab, aba, baa Son 3 en lugar de 3! = aabc, aacb, abac, abca, acab, acba, baac, baca, bcaa, caab, caba, cbaa Son 12 en lugar de 4! = 24.

Permutaciones con repetición Regla general: la cantidad de permutaciones de una palabra aaaabbbbcccc… es igual a Regla general: la cantidad de permutaciones de una palabra aaaabbbbcccc… es igual a Donde n 1, n 2, n 3 … es la cantida de a ’s, b ’s, c ’s, etc Obviamnete n 1 + n 2 + n 3 + … n k = n.

Permutaciones con repetición Ejemplo: Tableros de ta-te-ti Ejemplo: Tableros de ta-te-ti

Permutaciones con repetición Ejemplo: Tableros de ta-te-ti Ejemplo: Tableros de ta-te-ti

Permutaciones con repetición ¿Cuántos tableros de ta-te-ti hay? ¿Cuántos tableros de ta-te-ti hay? a a b c c c ccc a a b c c c cc a a b c c c c b b a

Permutaciones con repetición ¿Cuántos tableros de ta-te-ti hay? ¿Cuántos tableros de ta-te-ti hay? a a b c c c ccc a a b c c c cc a a b c c c c b b a acccbacccacccbabccacacbabcc

Permutaciones con repetición ¿Cuántos tableros de ta-te-ti hay? ¿Cuántos tableros de ta-te-ti hay? acccbacccacccbabccacacbabcc 9!/(2!1!6!)=9x8x7/2 =252 9!/(2!2!5!)=9x8x7x6/4= 756 9!/(3!2!4!)=9x8x7x6x5/12=1260

Permutaciones con repetición El total se obtiene sumando los totales parciales. El total se obtiene sumando los totales parciales. Hemos aplicado la Regla de la suma que dice así: si los objetos que quiero contar los puedo dividir en dos ( o más) tipos distinto, basta contar cuantos de cada tipo hay y sumar los resultados. Hemos aplicado la Regla de la suma que dice así: si los objetos que quiero contar los puedo dividir en dos ( o más) tipos distinto, basta contar cuantos de cada tipo hay y sumar los resultados.

¿Estamos contando de más? ¿Son iguales? ¿Son iguales?

Simetrías Suele dar lugar a problemas difíciles Suele dar lugar a problemas difíciles Teoría de Redfield y Polya: ver por ejemplo Grimaldi 16.9 a involucra teoría de grupos (Discreta 2) y funciones generatrices Teoría de Redfield y Polya: ver por ejemplo Grimaldi 16.9 a involucra teoría de grupos (Discreta 2) y funciones generatrices Casos sencillos: permutaciones circulares, combinaciones Casos sencillos: permutaciones circulares, combinaciones

Permutaciones circulares Ejemplo: tengo cuatro personas a, b, c y d Ejemplo: tengo cuatro personas a, b, c y d ¿Cuántas formas hay de ubicarlas en una mesa circular? ¿Cuántas formas hay de ubicarlas en una mesa circular? Sea “ x ” dicha cantidad Sea “ x ” dicha cantidad a b c da d c b a b c d

Permutaciones circulares Paso 1 : elijo una de las x permutaciones circulares Paso 1 : elijo una de las x permutaciones circulares Paso 2: la giro de 4 formas posibles Paso 2: la giro de 4 formas posibles Obtengo: todas las 4! Permutaciones Obtengo: todas las 4! Permutaciones  (regla del producto ) x  4=P=4!  (regla del producto ) x  4=P=4!  x = 4!/4 = 3!  x = 4!/4 = 3! a b c d = a b c d = a b c d

Permutaciones circulares En general si tengo n símbolos En general si tengo n símbolos Hay n giros posibles  x  n = n! Hay n giros posibles  x  n = n! De donde x = n!/n = (n-1)! De donde x = n!/n = (n-1)! ¡Qué formula más sencilla! ¡Qué formula más sencilla! ¿Habrá otra forma de pensarla directamente que de ese resultado? ¿Habrá otra forma de pensarla directamente que de ese resultado?

Permutaciones circulares Otra forma de pensarlo Otra forma de pensarlo Fijo a arriba y permuto las otras (n-1) Fijo a arriba y permuto las otras (n-1) a b c d a b d c … a c b d

Simetrías La combinatoria involucra: La combinatoria involucra: Objetos: generalmente cantidad finita de tipos Objetos: generalmente cantidad finita de tipos Forma de combinarlos: geometría (lineal, circular, cuadrada, etc) Forma de combinarlos: geometría (lineal, circular, cuadrada, etc) Simetría: asociada (a la geometría) o ad hoc. Simetría: asociada (a la geometría) o ad hoc.

Combinaciones (sin repetición) Otra simetría sencilla: toda permutación da lugar a objetos equivalentes = “no importa el orden” Otra simetría sencilla: toda permutación da lugar a objetos equivalentes = “no importa el orden” Ejemplo: Arreglos de 4 en 3. Ejemplo: Arreglos de 4 en 3. Objetos: a, b, c, d Objetos: a, b, c, d acd = acd = adc = adc = dac = etc dac = etc ¿Cuántos tenemos? ¿Cuántos tenemos? 3! = 6: acd = adc = cad = cda = dac = dca 3! = 6: acd = adc = cad = cda = dac = dca

Combinaciones Permutando las combinaciones obtenemos los arreglos, por lo tanto (regla del producto) Permutando las combinaciones obtenemos los arreglos, por lo tanto (regla del producto) C n m  n! = A n m  C n m  n! = A n m  C n m = A n m / n! = C n m = A n m / n! = m!m!m!m! (m-n)! n!

Combinaciones con repetición Ejemplo: ¿De cuántas formas puedo pedir una media docena de biscochos? Ejemplo: ¿De cuántas formas puedo pedir una media docena de biscochos? Supongamos cuatro tipos: a, b, c, d Supongamos cuatro tipos: a, b, c, d ¿Importa el orden? ¿Importa el orden? Ejemplos: aaabbb, aabbcc, etc Ejemplos: aaabbb, aabbcc, etc

Combinaciones con repetición aaabbb  = 3 a y 3 b, 0 c, 0 d aaabbb  = 3 a y 3 b, 0 c, 0 d aabbcc = 2 a, 2 b y 2 c, 0 d aabbcc = 2 a, 2 b y 2 c, 0 d 3 a y 3 b = a xxx, b xxx, c 0, d, 0 3 a y 3 b = a xxx, b xxx, c 0, d, 0 2 a, 2 b y 2 c = a xx, b xx, c xx, d 0 2 a, 2 b y 2 c = a xx, b xx, c xx, d 0 aaabbb = xxx|xxx|| aaabbb = xxx|xxx|| aabbcc = xx|xx|xx| aabbcc = xx|xx|xx| ¿abbcdd? ¿abbcdd? x|xx|x|xx x|xx|x|xx

Combinaciones con repetición aaabbb = xxx|xxx|| aaabbb = xxx|xxx|| aabbcc = xx|xx|xx| aabbcc = xx|xx|xx| abbcdd =x|xx|x|xx abbcdd =x|xx|x|xx 1 ero ) siempre hay 6 “x” y 3 “|” 1 ero ) siempre hay 6 “x” y 3 “|” 2 do ) cualquier permutación de 6x y 3 | da lugar a una elección distinta 2 do ) cualquier permutación de 6x y 3 | da lugar a una elección distinta ¿Cuántas hay? ¿Cuántas hay?

Combinaciones con repetición ¿Cuántas hay? Permutaciones con repetición de 6+3 letras con 6 y 3repetidas = (6+3)!/(6!3!) = C 9 3 ¿Cuántas hay? Permutaciones con repetición de 6+3 letras con 6 y 3repetidas = (6+3)!/(6!3!) = C 9 3 En general para CR m n son n “x” y m-1 “|” En general para CR m n son n “x” y m-1 “|” Total: Total: n!(m-1)! = C n n+m-1 (n+m-1)!

Resumen Repetición RepeticiónOrdenSINO SI AR m n AmnAmnAmnAmn NO CR m n CmnCmnCmnCmn

Resumen Repetición RepeticiónOrdenSINO SI AR m n = m n A m n = NO CR m n = C m+n-1 n Cmn =Cmn =Cmn =Cmn =

Otra forma de ver las cosas Combinaciones con repetición de 4 en 6 Combinaciones con repetición de 4 en 6 aaabbb = xxx|xxx|| = aaabbb = xxx|xxx|| = Distribución de objetos en cajas: objetos y cajas distinguibles o no. Distribución de objetos en cajas: objetos y cajas distinguibles o no. Pueden haber cajas vacías o no. Pueden haber cajas vacías o no.

Distribución de objetos en cajas Objetos Distiguibles Objetos Distiguibles Cajas Distinguibles SINO SI ? (fácil) CR m n NO ?(no tanto) ?(difícil)

Otra forma de ver las cosas Fórmula del Binomio: Fórmula del Binomio: Por esta razón a los coeficientes C n i también se los llama coeficientes binomiales. Se los suele denotar de la siguiente forma Por esta razón a los coeficientes C n i también se los llama coeficientes binomiales. Se los suele denotar de la siguiente forma

Fórmula del Binomio Demostración combinatoria Demostración combinatoria (a+b) 2 = (a+b) (a+b)= (a+b) 2 = (a+b) (a+b)= (a 1 +b 1 ) (a 2 +b 2 ) = (a 1 +b 1 ) (a 2 +b 2 ) = (a 1 +b 1 ) a 2 + (a 1 +b 1 ) b 2 = (a 1 +b 1 ) a 2 + (a 1 +b 1 ) b 2 = a 1 a 2 +b 1 a 2 + a 1 b 2 +b 1 b 2 a 1 a 2 +b 1 a 2 + a 1 b 2 +b 1 b 2 (a+b) 3 = (a 1 +b 1 ) (a 2 +b 2 ) (a 3 +b 3 )= (a+b) 3 = (a 1 +b 1 ) (a 2 +b 2 ) (a 3 +b 3 )= (a 1 a 2 +b 1 a 2 + a 1 b 2 +b 1 b 2 ) (a 3 +b 3 )= (a 1 a 2 +b 1 a 2 + a 1 b 2 +b 1 b 2 ) (a 3 +b 3 )= a 1 a 2 a 3 +b 1 a 2 a 3 + a 1 b 2 a 3 +… + a 1 b 2 b 3 + b 1 b 2 b 3 a 1 a 2 a 3 +b 1 a 2 a 3 + a 1 b 2 a 3 +… + a 1 b 2 b 3 + b 1 b 2 b 3

Fórmula del Binomio Demostración combinatoria Demostración combinatoria a 1 a 2 a 3 +b 1 a 2 a 3 + a 1 b 2 a 3 +… + a 1 b 2 b 3 + b 1 b 2 b 3 a 1 a 2 a 3 +b 1 a 2 a 3 + a 1 b 2 a 3 +… + a 1 b 2 b 3 + b 1 b 2 b 3 Vemos que por cada término comienza con una a 1 o una b 1 sigue con a 2 o b 2 y termina con a 3 o b 3. Entonces podemos pensar que los términos se construyen en un proceso de tres pasos: Vemos que por cada término comienza con una a 1 o una b 1 sigue con a 2 o b 2 y termina con a 3 o b 3. Entonces podemos pensar que los términos se construyen en un proceso de tres pasos: Paso 1 Elijo una de las letras del 1 er factor (a 1 +b 1 ) Paso 1 Elijo una de las letras del 1 er factor (a 1 +b 1 ) Paso 2 Elijo una de las letras del 2 do factor (a 2 +b 2 ) Paso 2 Elijo una de las letras del 2 do factor (a 2 +b 2 ) Paso 3 Elijo una de las letras del 3 er factor (a 3 +b 3 ) Paso 3 Elijo una de las letras del 3 er factor (a 3 +b 3 )

Fórmula del Binomio Por otro lado los términos finales se obtiene al borrar los índices y juntar los términos iguales. En el ejemplo: Por otro lado los términos finales se obtiene al borrar los índices y juntar los términos iguales. En el ejemplo: aaa +baa+ aba +… + abb + bbb = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 aaa +baa+ aba +… + abb + bbb = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 ¿De donde sale el “3” de “a 2 b” ? ¿De donde sale el “3” de “a 2 b” ? De juntar aab+aba+baa, es decir de elegir en dos pasos “a” y en el otro “b”. De juntar aab+aba+baa, es decir de elegir en dos pasos “a” y en el otro “b”. ¿De cuantas formas se pueden elegir 2 “a”? ¿De cuantas formas se pueden elegir 2 “a”? Tengo 3 factores, debo elegir 2 de donde elegir dichas “a”, como no importa el orden en que elija dichos dos factores, tengo C 3 2 formas de hacerlo. Tengo 3 factores, debo elegir 2 de donde elegir dichas “a”, como no importa el orden en que elija dichos dos factores, tengo C 3 2 formas de hacerlo.

Fórmula del Binomio En general (a+b) n =   i a i b n-i En general (a+b) n =   i a i b n-i Donde  i será todas las formas de elegir en i pasos la letra “a”, es decir elegir i factores de entre n: C n i. Donde  i será todas las formas de elegir en i pasos la letra “a”, es decir elegir i factores de entre n: C n i.

Algunas Consecuencias Ejemplo 1: (1+x) n =  C n i 1 i x n-i =  C n i x n-i Ejemplo 1: (1+x) n =  C n i 1 i x n-i =  C n i x n-i =(x+1) n =  C n i x i 1 n-i =  C n i x i =(x+1) n =  C n i x i 1 n-i =  C n i x i Por lo tanto: C n i = C n n-i Por lo tanto: C n i = C n n-i Ejemplo 2: Ejemplo 2: 0= (-1+1) n =  C n i (-1) i 1 n-i =  C n i (-1) i 0= (-1+1) n =  C n i (-1) i 1 n-i =  C n i (-1) i Ejemplo 3: 2 n = (1+1) n =  C n i (1) i 1 n-i =  C n i Ejemplo 3: 2 n = (1+1) n =  C n i (1) i 1 n-i =  C n i Este ejemplo además nos da una cota (grosera) de los coeficientes binomiales. Este ejemplo además nos da una cota (grosera) de los coeficientes binomiales.