Módulo N°4 Plan de Nivelación Introducción a la Geometría

Introducción Para resolver ejercicios de geometría tipo PSU, es necesario recordar algunos conceptos básicos, los que facilitarán la comprensión y resolución de dichos ejercicios. En esta guía de nivelación, definiremos conceptos como punto, recta, semirrecta, rayos, ángulo, etc., y los símbolos que se utilizan para referirse a ellos. También encontrarás aquellas fórmulas para cálculos de áreas y perímetros de polígonos, áreas y volúmenes de cuerpos geométricos, como cilindros, cubos, conos, etc. Cabe recordar que ésta es una “nivelación” y que queda mucho por aprender y reforzar. Esto es sólo una invitación para continuar estudiando junto a tu profesor.

Contenidos I. Geometría Plana - Generalidades II. Polígonos Punto, recta, semirectas y rayos Trazo y segmento Rectas paralelas y perpendiculares Ángulos, relaciones angulares y clasificación Ángulos entre paralelas II. Polígonos Definición y Clasificación Área y Perímetro

III. Circunferencia y Círculo Definición Radio y diámetro Área y perímetro IV. Cuerpos Geométricos Caras, aristas y vértices Áreas y Volúmenes

Aprendizajes esperados Definir conceptos como: recta, ángulo, cuerpo geométrico, etc. Aplicar fórmulas de áreas y perímetros, tanto de polígonos como de algunos cuerpos geométricos, en ejercicios propuestos. Descubrir formas didácticas para calcular áreas y volúmenes de cuerpos geométricos como prismas y cilindros.

I. Geometría Plana - Generalidades Ángulo: Es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común, llamado vértice. Para nombrarlos, se utilizan las letras del alfabeto griego ( a, b, g…) o números (1, 2, 3, 4…) en el interior del ángulo. Su lectura es en sentido antihorario. Módulo N°4, página 6

Relaciones angulares: Ángulos Suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si suman 180°. Ejemplos: 100° y 80° 46° y 134° 20° y 160° Módulo N°4, página 7

Ángulos Complementarios: Dos ángulos son complementarios si suman 90°. Ejemplos: 48° y 42° 20° y 70° 60° y 30° Ángulos Opuestos por el vértice: Son iguales. Módulo N°4, página 7

Ángulos entre paralelas Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, se forman ocho ángulos de los cuales algunos son congruentes (poseen igual medida). Si L1 // L2 y L3 una transversal, entonces se forman ocho ángulos, que corresponden a un ángulo y su suplemento que se repiten. Módulo N°4, página 9

II. Polígonos Áreas y Perímetros En la siguiente tabla se resumen las fórmulas para calcular las áreas y perímetros de los polígonos más comunes: triángulo, cuadrado y rectángulo (más adelante estudiaremos otros polígonos, como rombos, trapecios, pentágonos, hexágonos, etc.) Módulo N°4, página 10

Ejercicios propuestos en el Módulo 4 de matemática, página 19. FIGURA ÁREA PERÍMETRO P = a+b+c A = a2 P = 4a P = 2a + 2b A= A = Ejercicios propuestos en el Módulo 4 de matemática, página 19. Módulo N°4, página 11

III. Circunferencia y Círculo Definición Circunferencia: Línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos equidistan de un punto fijo llamado “centro”. Círculo: Es la porción del plano limitado por una circunferencia. Módulo N°4, página 13

Radio y diámetro Radio (r): Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto de ella. Diámetro (d): Segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. A B C AB: Diámetro (d) OC: Radio(r) Módulo N°4, página 13

Área y Perímetro: Área⊗ = pr2 Perímetro⊗ = 2pr Ejemplo: Si el diámetro de una circunferencia mide 10,6 cm, entonces, ¿cuál es su área y perímetro? Solución: Si el diámetro de la circunferencia mide 10,6 cm, entonces el radio mide 5,3 cm. Luego: Área⊗ = p∙(5,3)2 Perímetro⊗ = 2p∙(5,3) Área⊗ = p∙(28,09) cm2 Perímetro⊗ = 10,6p cm Módulo N°4, página 13

IV. Cuerpos Geométricos Áreas y volúmenes de algunos cuerpos geométricos El área o superficie de un prisma se obtiene sumando las áreas de su(s) base(s) y las áreas de sus caras laterales. Ejemplo: El área del prisma de base cuadrada de la figura, es: Módulo N°4, página 15

El área o superficie del prisma se obtiene sumando las áreas de sus 2 bases cuadradras de lado 8 cm, más sus 4 caras laterales (rectángulos). A = 2·(82) + 4·(8·20) A = 2·(64) + 4·(160) A =128 + 640 A = 768 cm2

Ejercicio propuesto: El lado de la base cuadrada de la pirámide mide 3 cm. Sus caras laterales son triángulos de altura 5 cm. ¿Cuál será su área total? Módulo N°4, página 15

El área o superficie de la pirámide se obtiene sumando el área de su base (cuadrada), con sus 4 caras laterales. A = 1 + 4 A = (32) + 4·(3·5) 2 A = 39 cm2

¿Cómo se calcula el área de un cilindro? Los cilindros están formados por dos bases circulares y una cara lateral, que al extenderla corresponde a un rectángulo de ancho igual al perímetro de la circunferencia basal (2pr). Luego, el área de un cilindro se expresa como: A = 2·(pr2) + 2pr·h Módulo N°4, página 16

Ejercicio propuesto: ¿Cuál es el área del cilindro cuya base circular tiene un radio de 10 cm y altura 15 cm? A = 2·(pr2) + 2prh A = 2·(p·102) + 2p·10·15 A = 2·(p·100) + 2p·150 A = 200p + 300p A = 500p Módulo N°4, página 16

¿Cuál es el volumen del cilindro anterior? Para calcular el volumen de un cilindro, se multiplica el área de la base circular (pr2), por su altura (h). Vcilindro = pr2·h Vcilindro = p100·15 Vcilindro = 1500p cm3 Módulo N°4, páginas 16 y 17

Ejercicios propuestos: 1. ¿Cuál es la capacidad (volumen) de una caja cuyas aristas están en razón 2 : 3 : 6, si la arista mayor mide 12 cm? Solución: Si el alto, ancho y largo de la caja están en razón 2:3:6, entonces: alto = 2k, ancho = 3k y largo = 6k Módulo N°4, página 18

Como la arista mayor (largo) mide 12 cm, entonces: 6k = 12 k = 2.  Luego, alto = 4, ancho = 6 y largo = 12 Por lo tanto, el volumen de la caja es: V= 12·6·4 V= 288 cm3 Módulo N°4, página 18

mide 15 cm, entonces, ¿cuál es su volumen? 2. Si las bases triangulares del prisma de la figura tienen área igual a 12 cm2 y su altura h, mide 15 cm, entonces, ¿cuál es su volumen? Solución: V= 12·15 cm3 V= 180 cm3 Módulo N°4, página 18

Te invitamos a resolver los ejercicios propuestos en el Módulo 4 de matemática, desde la página 19. (Solucionario en página 25)