Gravedades f(R) Federico Márquez Proyecto semestral FIA3009 Pontificia Universidad Católica de Chile Facultad de Física

¿Porque es necesario? Queremos evitar la adición de un fluido Análogo a lo sucedido con la órbita de Mercurio El universo esta expandiendose

Un poco de mecánica clásica Concepto de acción Principio de Hamilton Ecuación de Euler-Lagrange:

Relatividad ¿Cuál es la diferencia? Trabajamos en un espacio de 4 dimensiones Debemos asociar un lagrangiano al vacío No podemos usar la ecuación de Euler-Lagrange

Lagrangiano del vacío Intuitivamente El vacío esta caracterizado por la métrica Debemos incluir información acerca de la curvatura

Lagrangiano del vacío El lagrangiano es una magnitud escalar El lagrangiano más simple que contenga toda la información

Lagrangiano del vacío 2 problemas: No podemos usar Euler-Lagrange No es invariante

Acción relativista Ahora podemos escribir la acción Incluyendo materia

Acción relativista Acción de Einstein-Hilbert

Ecuaciones de Einstein Definimos Principio de Hamilton Nos interesan las ecuaciones en el vacío

Ecuaciones de Einstein Principio de Hamilton Consideremos

Ecuaciones de Einstein Pero ¡¡¡ Este termino no aporta nada !!! Lo podemos escribir como una derivada total Siguiendo esta lógica, llegamos a las ecuaciones de Einstein

Gravedades f(R) Consisten en modificar el lagrangiano del vacío Históricamente, nacen como un cuestionamiento a la simplicidad Pueden armarse de forma tal de provocar correcciones y no una modificación completa. Por ej:

Metric f(R) gravity Acción Ecuaciones de campo ¡¡¡ Con cuidado !!!

Metric f(R) gravity Repitamos el proceso

Metric f(R) gravity Por lo anterior Nuevamente tenemos: Ahora este término SÍ aporta

Metric f(R) gravity Esa derivada puede ser cualquier cosa, por lo tanto, no podemos escribirlo como una derivada total. Debemos resolver este término Usamos:

Metric f(R) gravity Obtenemos: Integrando por partes, llegamos a la ecuación de campo

Palatini f(R) gravity Acción Estamos considerando los símbolos de Christoffel como una variable independiente de la métrica, es decir, tenemos dos escalares de Ricci.

Palatini f(R) gravity ¿Cómo definimos estas conexiones? En el proceso matemático se descubre la relación entre los dos escalares de Ricci.

Palatini f(R) gravity Llegamos a las ecuaciones de campo: Solo derivadas de segundo orden

Metric-affine f(R) gravity Acción La materia también depende de la conexión La teoría es muy complicada y muy nueva

¿Qué se espera de f(R)? Deben producir la misma dinámica cosmológica Deben introducir correcciones pequeñas a la relatividad general Deben tener poder predictivo (Problema de Cauchy)

Conclusiones Una alternativa a la energía oscura Aun estamos lejos de proclamar las gravedades f(R) como la teoría “correcta”

Referencias [1] E.Goldstein, Classical mechanics, third edition [2] R.M. Wald 1984, General Relativity (Chicago University Press, Chicago) [3] Carroll, Sean M. (2004), Spacetime and GeometrySpacetime and Geometry [4] T.P.Sotiriou and V. Faraoni, arXiv: [5] V. Faraoni, arXiv: , Oct ¿Preguntas?