Gravitación invariante de (A)dS en altas dimensiones

Presentación del tema: "Gravitación invariante de (A)dS en altas dimensiones"— Transcripción de la presentación:

1 Gravitación invariante de (A)dS en altas dimensiones
Examen de Grado Magíster en Ciencias con mención en Física Gravitación invariante de (A)dS en altas dimensiones Eduardo Rodríguez S. Profesor guía: Dr. Patricio Salgado 22 de agosto de 2003

2 Contenidos Introducción Gravedad como teoría de gauge Planteamiento
Dimensiones impares Dimensiones pares Realizaciones no lineales Reducción Dimensional Conclusiones

3 Introducción Tres de las cuatro interacciones fundamentales son teorías de gauge cuánticas y renormalizables. La versión cuántica de la Relatividad General es no renormalizable. Pista: Relatividad General no es una teoría de gauge.

4 Gauge y Gravitación Consideramos a ea y wab como componentes de una conexión para el grupo de Poincaré: La curvatura es

5 Gauge y Einstein-Hilbert
Las transformaciones de gauge infinitesimales son Acción de Einstein-Hilbert:

6 Einstein-Hilbert La acción de Einstein-Hilbert no es invariante bajo traslaciones: Gravedad en cuatro dimensiones no es una teoría de gauge. La acción de EH tampoco es invariante bajo traslaciones en dimensiones más altas.

7 Dimensiones superiores
La teoría de cuerdas requiere de dimensiones adicionales: Cuerda bosónica: d = 26 Supercuerdas: d = 10 Supergravedad permite un máximo de 11 dimensiones. Se cree que la Teoría M debe ser formulada en 11 dimensiones.

8 Lanczos-Lovelock En d dimensiones, lagrangeano sin torsión más general posible: Coeficientes ap: quedan fijos mediante el requerimiento de consistencia de las ecuaciones de movimiento.

9 Lanczos-Lovelock En d = 2n - 1 dimensiones, la elección de coeficientes permite que el lagrangeano sea invariante bajo boosts de (A)dS. En d = 2n dimensiones, el lagrangeano mantiene sólo la invariancia bajo rotaciones locales de Lorentz. P O

10 Planteamiento Queremos escribir una acción para la gravedad en d dimensiones Invariante bajo difeomorfismos, Con ecuaciones de segundo orden para la métrica, Invariante de (A)dS en el espacio tangente:

11 Planteamiento Partimos con una acción que es invariante bajo el subgrupo de estabilidad H = SO(d - 1,1) del grupo de AdS G = SO(d - 1,2). Ejemplo clásico:

12 Campos no lineales Realizamos una transformación de gauge con un elemento de G/H, Obtenemos

13 Realizaciones no lineales
La acción no es dejada invariante por estas transformaciones. La coordenada de AdS za aparece como un nuevo campo en la acción transformada. Si la acción fuese invariante de gauge, sólo estaríamos agregando un término de borde.

14 Leyes de Transformación
Acción de un elemento de G sobre un elemento de G/H: Cuando la transformación es lineal:

15 Leyes de Transformación
En general, za y h son funciones no lineales de za y g. Bajo G, los campos no lineales Va y Wab transforman según la ley

16 Transformaciones infinitesimales
Lorentz: lab Boosts: ea

17 Realizaciones no lineales
La acción es invariante bajo rotaciones locales de Lorentz y boosts de AdS.

18 Realizaciones no lineales
Sus ecuaciones de movimiento asociadas son La ecuación para za no es independiente, ya que puede obtenerse tomando la derivada covariante de la ecuación para ea.

19 Cargas conservadas I A cada simetría de la acción le corresponde una carga conservada. Para difeomorfismos generados por un campo vectorial x, hallamos

20 Cargas conservadas II Carga conservada asociada a la invariancia bajo rotaciones locales de Lorentz: Carga conservada asociada a la invariancia bajo boosts locales de AdS:

21 Reducción Dimensional
Es el proceso utilizado para obtener teorías efectivas en dimensiones más bajas a partir de teorías en altas dimensiones. Ejemplo: Kaluza-Klein

22 Método I Método más sencillo e intuitivo

23 Método II Método menos intuitivo

24 De 4 a 3: Método I Reducción de las constantes Integrar sobre x4

25 De 4 a 3: Método II Reducción de las constantes Integrar sobre x4

26 De 2n a 2n - 1: Método I La acción reducida es una acción de Lovelock
Sin embargo, es distinta de la acción de Chern-Simons en dimensiones impares Integrar sobre x2n

27 De 2n a 2n - 1: Método II La acción reducida es una acción de Lovelock
Sin embargo, es distinta de la acción de Chern-Simons en dimensiones impares Integrar sobre x2n

28 Tercera Alternativa Abandonamos la hipótesis de independencia de los campos en x2n y asumimos Integrando en hallamos

29 Tercera Alternativa Cualquier identificación sencilla, como
permite encontrar la acción de Euler-Chern-Simons en 2n - 1 dimensiones:

30 Conclusiones La inclusión de la coordenada de (A)dS za permite escribir una acción invariante de (A)dS en dimensiones pares. Las ecuaciones de movimiento tienen la misma forma que en el caso usual. La simetría de (A)dS tiene una carga conservada asociada no trivial. La reducción dimensional de la acción conduce a una teoría de la gravedad en la dimensión inferior.