sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 ANÁLISIS DE LA PRECIPITACIÓN QUE SE REGISTRA EN UNA ESTACIÓN CLIMÁTICA O CONJUNTO DE ELLAS.

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 PROBABILIDAD: SI UN EXPERIMENTO TIENE n RESULTADOS POSIBLES Y MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y SI DE ELLOS na RESULTADOS TIENEN UN ATRIBUTO a ES DECIR: P(A) = na/n

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 LO ANTERIORMENTE EXPUESTO SE PUEDE EXPRESAR, EXPERIMENTO “TIRO DE UN DADO” U “OCURRENCIA DE UNA TORMENTA” EL ATRIBUTO a PUEDE LLAMARSE “EL NÚMERO QUE SALE DEL TIRO DE DADO ES 2” O “LA PRECIPITACIÓN TOTAL ES DE 500 mm”

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 EL PERIODO DE RETORNO SE PUEDE DEFINIR: SEA A EL EVENTO “EL NÚMERO QUE SALE DEL TIRO DEL DADO ES 2” Y B EL EVENTO “LA ALTURA DE PRECIPITACIÓN EN 24 HORAS EN CUALQUIER AÑO ES DE 500 mm”

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 EL NÚMERO DE AÑOS EN QUE EN PROMEDIO, SE PRESENTA UN EVENTO COMO EL B DE LA DIAPOSITIVA ANTERIOR, SE LLAMA PERIODO DE RETORNO, INTERVALO DE RECURRENCIA O SIMPLEMENTE FRECUENCIA Y SE ACOSTUMBRA EMPLEAR EL SIMBOLO Tr

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 KOLMOGOROV PLANTEA: SI SE PRESENTA UN CONJUNTO DE CONDICIONES S, ENTONCES EL EVENTO A SEGURAMENTE OCURRE,O BIEN, SI SE PRESENTA UN CONJUNTO DE CONDICIONES S, ENTONCES EL EVENTO A NO PUEDE OCURRIR.

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 UNA MUESTRA DE UN EVENTO O ESPACIO MUESTRAL ES EL CONJUNTO DE VALORES QUE PLANTEAN ALGUNA TENDENCIA ESPECÍFICA,Y TIENEN SU PROPIA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD, MISMA QUE NO SE CONOCE REGULARMENTE.

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 CONSIDERANDO EL CONJUNTO DE DIEZ GASTOS MAXIMOS ANUALES, Y TOMANDO TODOS ELLOS COMO CONJUNTO UNIVERSO, PARA CALCULAR LA PROBABILIDAD DE QUE EL GASTO MÁXIMO ANUAL SEA MENOR O IGUAL A 1500 m3/s SE ENCUENTRA EN LOS LÍMITES SIGUIENTES: 0 <= P(X <= 1500 m3/s)<= 0.1 Y QUE SEA MENOR O IGUAL A 5000 m3/s ESTARÁ EN LOS LÍMITES 0.9<= P(X <= 5000 m3/s) <=1.0 AÑO Q max m3/s

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 AÑO Q max m3/s

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 SI ORDENAMOS LOS DATOS DE MAYOR A MENOR TENDREMOS LO SIGUIENTE: AÑO Q max m3/s AHORA SI m ES EL NÚMERO DE ÓRDEN Y n EL NÚMERO TOTAL DE DATOS TENEMOS PARA 1500 UN VALOR DE 1/10 Y PARA 5000 UN VALOR DE 10/10, LO QUE EXPLICA EL RESULTADO ANTERIOR.

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 LO QUE HACE POSIBLE DESARROLLAR LA ECUACIÓN SIGUIENTE PARA PERIODO DE RETORNO: Tr= (n+1) /m ASÍ EL MÁXIMO EVENTO REGISTRADO TENDRA UN PERIODO DE RETORNO DE 11 AÑOS Y EL MÍNIMO DE 1.1 AÑOS

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 SI NO SE COMPRENDIO PARA 5000 m3/s Tr= (n+1) /m, será: (10+1)/1 y para 1500 m3/s será (10+1)/10. AÑO Q max m3/s m n

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD USADAS EN HIDROLOGÍA

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 UNA VEZ QUE SE LE ASIGNA UN PERIODO DE RETORNO AL GASTO DE DISEÑO DE ALGUNA OBRA O UNA PRECIPITACIÓN MÁXIMA EN 24 HORAS, GENERALMENTE EL ANÁLISIS REDUNDA EN UN CONJUNTO DE VALORES FINITO, POR LO QUE SE HACE NECESARIA LA EXTRAPOLACIÓN PARA CONOCER POSIBLES VALORES PARA PERIODOS DE RETORNO MAYORES AL CONJUNTO FINITO.

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 POR EJEMPLO ES POSIBLE QUE PARA UN CONJUNTO DE 25 AÑOS DE REGISTRO SEA NECESARIO EXTRAPOLAR PARA UN PERIODO DE RETORNO DE AÑOS, LOGRANDO UN BUEN RESULTADO DE EXTRAPOLACIÓN A PARTIR DE UN REGISTRO MÍNIMO DE 10 AÑOS.

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL: F(x)=(1/(2Πσ) ½ )e -1/2(x-µ/σ) LA CUAL NO TIENE SOLUCION ANALITICA MAS SI NUMÉRICA Y EL PROCEDIMIENTO QUE SE DESCRIBE A CONTINUACIÓN MEDIANTE UN EJEMPLO LO DESCRIBE:

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 LOS GASTOS MÁXIMOS ANUALES REGISTRADOS EN LA ESTACIÓN HIDROMÉTRICA JUCHIPILA EN NAYARIT, SE MUESTRAN A CONTINUACIÓN AÑO Q max m3/s AÑO Q max m3/s AÑO Q max m3/s AÑO Q max m3/s

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 a)¿Cuál es la probabilidad de que, en un año cualquiera, el gasto sea mayor o igual a 7500 m3/s?. b)Se planea construir cerca de este sitio un bordo para protección contra inundaciones. ¿Cuál debe ser el gasto de diseño si se desea que el periodo de retorno sea de 60 años?.

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 La media de los datos anteriores es: X= Sumatoria de i=1 hasta 25 de Xi y dividido entre el número total del conjunto de datos que es 25, el resultado es: 3886 m3/s AÑO Q max m3/s AÑO Q max m3/s AÑO Q max m3/s AÑO Q max m3/s

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 La desviación estandar es: S =(( ∑ de i=1 hasta 25 Xi-X media ) 2 /n) 1/2 Para este caso es m3/s AÑO Q max m3/s AÑO Q max m3/s AÑO Q max m3/s AÑO Q max m3/s

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 LA MEDIA ES 3886 m3/s. DESVIACIÓN ESTÁNDAR ES m3/s. LA RESPUESTA AL INCISO a SERÁ: PARA 7500 m3/s, UNA VARIABLE ESTANDARIZADA CONOCIDA COMO Z SERÁ: Z=X-X media /S; (7500m3/s – 3886 m3/s)/ m3/s = 1.98

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 SI VERIFICAMOS EN LA TABLA A-1 QUE TIENEN EN SUS MANOS, EL ÁREA BAJO LA CURVA DE PROBABILIDAD NORMAL TENDREMOS PARA Z= 1.98 QUE: F(X)= F(Z)= P(X<= 7500 m3/s)= POR LO QUE LA PROBABILIDAD DE QUE EL GASTO MÁXIMO ANUAL SEA MAYOR O IGUAL A 7500 m3/s RESULTA: P(X>= 7500 m3/s)= 1- P(X = 7500 m3/s)= 1- P(X<= 7500 m3/s)= =0.0239

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 Z

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 POR OTRO LADO EL PERIODO DE RETORNO SE ANALIZA COMO SIGUE: P(X<=x)=Tr-1/Tr PARA 60 AÑOS TENDREMOS UNA FUNCION DE PROBABILIDAD: F(x)=P(X<=x)=(60-1)/60=0.9833,Y AHORA DE LA TABLA A1 LA VARIABLE ESTANDARIZADA SERÁAPROXIMADAMENTE Z=2.126

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 DESPEJANDO X DE LA ECUACIÓN: Z=(X-X media )/S desviación estándar X = Z*S desviación estándar +X media 2.126(1825.9)+3886= m 3 /s SEGÚN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTE SERÁ EL GASTO DE DISEÑO PARA UN Tr de 60 AÑOS.

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD LOGNORMAL

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 EN ESTA FUNCIÓN LOS LOGARITMOS NATURALES DE LA VARIABLE ALEATORIA SE DISTRIBUYEN NORMALMENTE, LA FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABLIDAD ES: F(x)=(1/(2Π) ½ )(1/x ß) e -1/2(x-α/ ß ) DONDE α Y ß SON LOS PARAMETROS DE DISTRIBUCIÓN. SIN EMBARGO ESTOS SON LA MEDIA Y DESVIACION ESTANDAR DE LOS LOGARITMOS DEL CONJUNTO DE VALORES ANALIZADOS

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 LOS VALORES DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD SE OBTIENEN USANDO LA TABLA A 1, QUE TIENEN EN SUS MANOS, Y LA VARIABLE ESTANDARIZADA ES: Z=(ln x – α ) / ß

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 PARA COMPRENDER EL EMPLEO DE ESTA FUNCIÓN APLIQUEMOS ESTA METODOLOGÍA AL EJEMPLO DESARROLLADO ANTERIORMENTE EL CUAL ES: PARA EL CONJUNTO DE GASTOS PRESENTADOS EN EL EJEMPLO ANTERIOR, DETERMINAR: a)¿Cuál es la probabilidad de que, en un año cualquiera, el gasto sea mayor o igual a 7500 m3/s?.

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 b)Se planea construir cerca de este sitio un bordo para protección contra inundaciones. ¿Cuál debe ser el gasto de diseño si se desea que el periodo de retorno sea de 60 años?.

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 EL CONJUNTO DE VALORES SON LOS SIGUIENTES GASTOS, MISMOS QUE COINCIDEN CON EL EJEMPLO VISTO EN LA FUNCIÓN NORMAL AÑO Q max m3/s AÑO Q max m3/s AÑO Q max m3/s AÑO Q max m3/s

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 La media y desviación estandar o valores α y ß, respectivamente son: α = Sumatoria i=1 hasta n (ln xi/25)=8.162 ß=( Sumatoria i=1 hasta n (ln xi-8.162) 2 /25) ) 1/2 = 0.451

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 La solución para el inciso a para x=7500 m3/s, la variable estandarizada será: Z=ln (7500)-8.162/.451=1.687

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 SI VERIFICAMOS EN LA TABLA A-1 QUE TIENEN EN SUS MANOS, EL ÁREA BAJO LA CURVA DE PROBABILIDAD NORMAL TENDREMOS PARA Z= QUE: F(X)= F(Z)= P(X<= 7500 m3/s)= POR LO QUE LA PROBABILIDAD DE QUE EL GASTO MÁXIMO ANUAL SEA MAYOR O IGUAL A 7500 m3/s RESULTA: P(X>= 7500 m3/s)= 1- P(X = 7500 m3/s)= 1- P(X<= 7500 m3/s)= =0.0455

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 SI VERIFICAMOS EN LA TABLA A-1 QUE TIENEN EN SUS MANOS, EL ÁREA BAJO LA CURVA DE PROBABILIDAD NORMAL TENDREMOS PARA Z= QUE: F(X)= F(Z)= P(X<= 7500 m3/s)= POR LO QUE LA PROBABILIDAD DE QUE EL GASTO MÁXIMO ANUAL SEA MAYOR O IGUAL A 7500 m3/s RESULTA: P(X>= 7500 m3/s)= 1- P(X = 7500 m3/s)= 1- P(X<= 7500 m3/s)= =0.0455

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 AHORA DESPEJANDO X DE LA ECUACIÓN PARA VARIABLE ESTANDARIZADA TENEMOS: X=e (z ß+ α) X=e (1.687(0.451)+8.162) Z=(ln x – α ) / ß

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 e (1.687(0.451)+8.162) El resultado es m3/s, resultado de tipo comprobatorio

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 Para la solución del segundo inciso, aplicamos el análisis de periodo de retorno empleado en la función Normal F(X)=Tr-1/Tr; para este caso es 60-1/60 =0.9833, y la variable estandariza, tendría un valor de de la tabla respectiva

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 e (2.126(0.451)+8.162) El resultado es 9, m3/s, para un Tr de 60 años

sep INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INGENIERÍA CIVIL HIDROLOGÍA SUPERFICIAL 2008 FUNCIÓN GUMBEL

DISTRIBUCIÓN GUMBEL SUPÓNGASE QUE SE TIENEN N MUESTRAS, CADA UNA DE LAS CUALES CONTIENE n EVENTOS, SI SE SELECCIONA EL MÁXIMO X DE LOS n EVENTOS DE CADA MUESTRA, ES POSIBLE DEMOSTRAR QUE A MEDIDA QUE n AUMENTA, LA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE X TIENDE A: F(X)=e –e LOS VALORES DE ς Y В SON LOS PARAMETROS DE LA FUNCIÓN -ς(x-В)

DISTRIBUCIÓN GUMBEL DICHOS PARÁMETROS ς Y В PUEDEN SER ESTIMADOS COMO SIGUE: ς = /S desviación estándar B=Xmedia-0.45 S desviación estándar CUANDO SE TRATE DE MUESTRAS MUY GRANDES DE ANÁLISIS MAYORES A LOS 300 DATOS.

DISTRIBUCIÓN GUMBEL O BIEN DICHOS PARÁMETROS ς Y В PUEDEN SER ESTIMADOS COMO SIGUE PARA MUESTRAS RELATIVAMENTE PEQUEÑAS: ς = Þ de tabla/S desviación estándar B=Xmedia- µ de tabla/ ς CUANDO SE TRATE DE MUESTRAS COMO LAS QUE HEMOS TRABAJADO.

nµÞ EN EL CUADRO INFERIOR QUE SE PRESENTA EN ESTA Y LA SIGUIENTE LÁMINA, SE PRESENTAN LOS VALORES DE LOS PARÁMETROS

nµÞ EN EL CUADRO INFERIOR QUE SE PRESENTA LA CONTINUACIÓN DE LOS VALORES DE LOS PARÁMETROS

DISTRIBUCIÓN GUMBEL PARA EL EJEMPLO DESARROLLADO ANTERIORMENTE PARA LOS METODOS DE LOGNORMAL Y NORMAL TENEMOS UNA SOLUCIÓN COMO SIGUE: Para 25 años de registro, de la tabla anterior se obtiene lo siguiente: µ = y Þ =

DISTRIBUCIÓN GUMBEL POR LO QUE SI SUSTITUIMOS EN LAS ECUACIONES CORRESPONDIENTES TENDREMOS: ς = Þ de tabla/S desviación estándar; / = (m3/S) -1 B=Xmedia- µ de tabla/ ς ; / = m3/s

DISTRIBUCIÓN GUMBEL RESOLVIENDO PARA X=7500 m3/s, de la ecuación siguiente tendremos: F(X)=e –e o bién e elevado a la –e elevado a la ( ( ); lo cual da como resultado: F(X)=0.9345, POR LO QUE : P(X>= 7500 m3/s)= 1- P(X = 7500 m3/s)= 1- P(X<= 7500 m3/s)= = ς(x-В)

DISTRIBUCIÓN GUMBEL AHORA PARA UN Tr DE 60 AÑOS, TENEMOS: P(X<=x)=Tr-1/Tr = P(X<=x)=Tr-1/Tr = e –e F(x)=P(X<=x)=(60-1)/60= Y DESPEJANDO X TENDREMOS: X=B-1/ ς ln ln (Tr/Tr-1)= (1/ )ln ln(1/0.9833) = Un gasto de m3/s -ς(x-В)

CriterioResultado m3/s Cual adoptar NORMAL LOGNORMAL9, GUMBEL