Papiroflexia: geometría con papel José Ignacio Royo Prieto Universidad del País Vasco MATEMÁTICAS EN ACCIÓN Santander, 24 de mayo de 2006

Reglas de la Papiroflexia (ortodoxa) Se empieza con un único trozo de papel cuadrado; Sólo se puede plegar el papel; No se pueden realizar cortes; No se puede usar pegamento.

Modelos tradicionales Ilustración de “A través del Espejo”, de Lewis Carrol Barco de papel

León, leona y cría (David Brill)

Mantis religiosa (Ronald Koh)

Bruja (José Aníbal Voyer Iniesta)

Dos Cisnes (David Derudas)

Peces (John Montroll)

Demonio (Jun Maekawa)

Dragón (Shatoshi Kamiya)

Insectos (Robert Lang)

Rosa (Toshikazu Kawasaki)

Eric Joisel

Jedi Master Yoda (Fumiaki Kawahata)

Osos Panda (Akira Yoshizawa y Sonny Fontana)

Procesión con nazarenos (Isidoro González, Sevilla)

Demonio de Tasmania (J.I.R.) Mosca (J.I.R.)

Pájaro aleteador

Origami Ori = Doblar Kami= Papel

“Un mago convierte hojas de papel en pájaros” Grabado en madera japonés de 1818.

“Senbazuru Orikata” Japón, 1789

Miguel de Unamuno (Zuloaga)

Monumento a la Pajarita (Ramón Acín), Parque de Huesca

Akira Yoshizawa

Akira Yoshizawa

Elefantes (Akira Yoshizawa)

Avispa (Kamiya)

Avispa (Kamiya)

Avispa (Kamiya)

Avispa (Kamiya)

Tomoko Fuse

Instrucciones de plegado de un insecto de Robert Lang. Sistema de símbolos de Yoshizawa-Randlett

Relación Matemáticas-Papiroflexia Papiroflexia modular Teoremas de papel Constructibilidad de puntos con Origami Diseño de figuras con métodos matemáticos

Poliedros Definición: conjunto conexo de R3 formado por polígonos (caras) que cumplen: cada lado de cada cara es compartido con otra cara; en cada vértice hay un circuito cerrado de polígonos.

Poliedros convexos Su interior es convexo, y su interior se puede definir mediante fórmulas: Siendo C el número de caras.

Sólidos Platónicos - Definición: Un poliedro convexo es regular si: -sus caras son polígonos regulares; -en cada vértice concurre el mismo número de aristas. -(Teeteto, 425-379 a.C.): Tan sólo existen cinco, y son: Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro

Pirámide de Micerinos (Gizeh, Egipto)

Icosaedro truncado, cuestión de estado.

Papiroflexia modular Hacer figuras geométricas ensamblando piezas de papel sencillas e idénticas (módulos) El interés para con las matemáticas es doble: representación de poliedros y otras figuras; la construcción nos acerca a las propiedades de esas figuras.

Clases de módulos Por vértices; por aristas; por caras.

Problema de la coloración Construir el poliedro en cuestión de modo que sus caras, vértices o aristas sigan un patrón. Ejemplo: que no concurran dos colores iguales Utilizaremos el grafo plano de un poliedro

Grafos planos de los sólidos platónicos

Coloración icosidodecaedro Coloración icosaedro  Coloración icosidodecaedro

Icosidodecaedro

6 ciclos de aristas en un icosidodecaedro

Coloración icosaedro estrellado  Coloración triacontaedro rómbico

Triacontaedro rómbico

Coloración icosaedro estrellado usando módulos Sonobè

Dualidad de poliedros

Dualidad icosaedro-dodecaedro

Cinco Tetraedros Intersecados

Satoshi Kamiya

Balón de fútbol 12 pentágonos; 20 hexágonos; En cada vértice, se juntan 2 hexágonos y un pentágono.

Fullerenos Están formados por hexágonos y pentágonos; Concurren 3 aristas en cada vértice Cúpula geodésica de Montreal (Richard Buckminster Fuller)

Característica de Euler

Pentágonos de un fullereno

Construcción de nuevos fullerenos

Fullereno gigante (810 piezas)

Teorema de Steinitz Problema de Steinitz Un grafo se puede realizar como un poliedro convexo de 3 si y sólo si es plano y 3-conexo. Problema de Steinitz Decidir cuándo un grafo se puede realizar en 3 como un poliedro convexo circunscrito en la esfera usual.

El balón de la Champions Pentágonos Triángulos ¿Cuadrados?

Fórmula de Euler para 2

Dominios fundamentales Sergei Lupashin (120 piezas) Roberto Gretter (555 piezas) Sarah Belcastro (105 piezas)

Curvatura de 2 con origami Pentágonos: curvatura positiva Hexágonos: curvatura cero Heptágonos: curvatura negativa

Teoremas de papel Teoremas del triángulo División en 3 partes Nudo pentagonal

Trisección del ángulo con Origami Método de Hisashi Abe

Axiomática de Humiaki Huzita

New York Journal of Mathematics, 2000

Métodos matemáticos de diseño

Propiedades del mapa de cicatrices de un modelo plano

Proyección sobre la base de un modelo plano Mapa de cicatrices y base correspondiente

Método de Kawahata-Meguro

Pliegue oreja de conejo Hipérbola: lugar geométrico de los incentros

Figuras de Fumiaki Kawahata

Treemaker de Robert Lang

“Tree theorem” de Lang

Figura diseñada con Treemaker

Origag (Roberto Morassi, 1984)

Bibliografía

Más bibliografía http://www.pajarita.org (A.E.P.) http://www.divulgamat.net (sección cultura => matemáticas y papiroflexia) http://web.merrimack.edu/~thull Project Origami- T.Hull, A.K. Peters, 2006.

GRACIAS http://www.ehu.es/joseroyo