LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

PARÁMETROS DISTRIBUIDOS rc x lc x g x c x x r=2rc l=2lc r x l x g x c x x

Para variación armónica v=f(x,t) i=f(x,t) ECUACIONES DE LÍNEA r ·x l · x g · x c · x r · x x x v+v v i i v i-i d v r x × i l t + g c x d V ¾ r j w × l + ( ) I g c Para variación armónica x d V ¾ I × z y d v x r i × l t + g c

SOLUCIÓN FASORIAL DE LAS ECUACIONES DE LÍNEA x d V ¾ I × z y ¾ 2 d V x z I × y d 2 V ¾ x z y × I V ¾ 1 e g x × 2 - + I V ¾ 1 e z y × x 2 - + I Coeficiente de propagación g z y × g r j w × l + ( ) c g a j b × +   Coeficiente de atenuación [Neper/m] Coeficiente de fase [rad/m]

ONDAS VIAJERAS b 2 p × l V ¾ e × + 1 e a x × j b 2 - + ONDAS VIAJERAS Usualmente la referencia x=0 para medir distancias a lo largo de la línea es la ubicación de la carga. Vi = V1 e  xx Onda viajera incidente (viaja de generador a carga) Vr = V2 e-  x-x Onda viajera reflejada (viaja de carga a generador ) V = Vi + Vr b 2 p × l t=t0 (ref. V1=0) Re Im x=0 x=x1 Hacia el generador x1 V1 ex1 Re Im x=0 Hacia el generador V2 ex1 x=x1 x1

FOTO INSTANTÁNEA DE LAS ONDAS VIAJERAS A LO LARGO DE LA LÍNEA vi(x,t0) vr(x,t0) x=0 Carga x=L Gen.

LA IMPEDANCIA CARACTERÍSTICA Zo x d I ¾ g 1 × e 2 - y V ¾ × g I 1 e x 2 - V ¾ g y I i × r - V ¾ z y I i × r - V i ¾ r + z y I × - Z o z y V i ¾ Z o I × V r ¾ Z o - I ×

DISTORSIÓN DE AMPLITUD En ausencia de otros tipos de distorsión, si todas las componentes de la señal se atenuaran en la misma proporción al viajar por la línea, entonces la señal reconstruida en el receptor, aunque atenuada, mantendría la forma original, preservándose así la información a ella asociada. Si por el contrario la constante de atenuación  varía con la frecuencia, entonces las diferentes componentes viajeras de la señal son atenuadas de manera diferente y al sumarse en el receptor dan origen a una señal de forma diferente a la enviada por el transmisor. Este inconveniente toma el nombre de distorsión de amplitud. La distorsión de amplitud puede mejorarse con el proceso de ecualización. 1 . 10 6 7 8 2 4  (dB/km) Atenuación de un cable coaxial típico f

EJEMPLO x 50 km := g Tx t ( ) cos 2 p × 5 10 1 + a 0.02 neper 0.01 Rx Una señal constituida por la suma de dos sinusoides de frecuencia diferente recorre una línea de 50 km, siendo la componente de más alta frecuencia atenuada mayormente durante el trayecto. Observe la distorsión de amplitud experimentada por la señal al llegar al receptor: EJEMPLO x 50 km := g Tx t ( ) cos 2 p × 5 10 9 1 + a 0.02 neper 0.01 Rx e - gTx(t) gRx(t) t

VELOCIDAD DE FASE v f l × v f c e r ¿ A qué velocidad viajan las ondas incidente y reflejada ? Para el caso de onda armónica pura la respuesta es simple: v d x t v 1 b dq d t × v w b v l 2 p × w v f l × En el vacío la velocidad de fase coincide con la velocidad de la luz c. Sin embargo, en medios guíados la velocidad de fase es inferior a la de la luz. v f c e r Esto significa que para una misma frecuencia la longitud de onda es menor en el medio guíado.

DISTORSIÓN DE FASE Usualmente una señal de información no contiene una sola frecuencia, sino que está constituida por un espectro continuo de frecuencias. Si el producto f se mantuviese constante, todas las componentes de frecuencia de la señal viajarían a la misma velocidad vf y llegarían a destino al mismo tiempo, sumándose entonces con la misma relación de fase (desfasaje) que tenían al generador y así se reconstituye la señal con la misma forma original (aquí se obvian las posibles alteraciones introducidas por la distorsión de atenuación). Desafortunadamente el producto f no se mantiene estrictamente constante al variar la frecuencia, así que las diferentes componentes de la señal viajan con velocidades diferentes, llegando al receptor con retardos diferentes y por lo tanto se modifica la relación de fase entre ellas. La señal reconstruida tendrá por lo tanto una forma diferente. Se ha producido distorsión de fase.

EJEMPLO fTx(t) fRx(t) t Tómese nuevamente el ejemplo sencillo de la señal constituida por la suma de dos sinusoides de frecuencia diferente para observar la distorsión de fase en el receptor. La componentes viajan con velocidades diferentes, vf1>vf2: EJEMPLO f Tx t ( ) cos 2 p × 5 10 9 1 + := x 50 km := q 1Tx º 2Tx v f1 2.7 10 8 × m s := q 1Rx 2 - p 5 9 x v f2 0.013 10 8 × m s := q 2Rx 2 - p 9 x f Rx t ( ) cos 2 p × 5 10 9 q 1Rx - æ è ö ø 1 2Rx + := fTx(t) fRx(t) t Tómese el ejemplo sencillo de una señal constituida por la suma de dos sinusoides de frecuencia diferente, que viajan con velocidades diferentes, vf1>vf2 y recorren una línea de 50 km:

LA LÍNEA SIN PÉRDIDAS (r=0, g=0) Z o l c LA LÍNEA SIN PÉRDIDAS (r=0, g=0) g j w × l c a b w l c × V ¾ 1 e j b × x 2 -j + I V = V1 x + V2 -x I = I1 x + I2 -x Vi = V1 x Onda incidente (viaja de generador a carga) Vr = V2 -x Onda reflejada (viaja de carga a generador )  x=L Gen. x=0 Carga

( ) ( ) ( ) ( ) REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE LA ONDA DE TENSIÓN Zo2 Zo1 é Coeficiente de reflexión de tensión:* G v ¾ x ( ) V r i Cualquier discontinuidad en el medio de transmisión produce una reflexión de parte de la energía incidente, mientras que la parte restante continúa su propagación, es decir se refracta. Este fenómeno se describe mediante la relación entre onda reflejada y onda incidente, que toma el nombre de índice de reflexión, mientras que la relación entre onda refractada y onda incidente toma el nombre de índice de refracción. Ambos pueden ser complejos y pueden definirse tanto para la onda de tensión como de corriente. Coeficiente de transmisión o refracción de tensión:* Q v ¾ x o ( ) V tr i La tensión en el punto de discontinuidad xo es única, por lo tanto: V tr ¾ x o ( ) i r + V tr ¾ x o ( ) × i 1 G v + é ë ù û Observe las diferentes amplitudes y fases de las ondas en la discontinuidad. *El coefiente de reflexión puede definirse para cualquir punto del primer medio porqué en éste la onda incidente y reflejada coexisten. El coeficiente de refracción tiene vigencia sólo en punto de discontinuidad, donde coexisten la onda incidente y la refractada. Q v ¾ x o ( ) 1 G × + xo Zo2 Zo1 Hacia la carga Hacia el transmisor

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE LA ONDA DE CORRIENTE é ë Hacia el transmisor REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE LA ONDA DE CORRIENTE Zo1 Zo3 Zo2 xo Ii, Ir Vi, Vr Itr2, Vtr2 Itr3, Vtr3 Hacia las cargas Coeficiente de reflexión de corriente: G I ¾ x ( ) r i Unicidad de la tensión en xo: Coeficientes de transmisión o refracción de corriente: V tr2 ¾ x o ( ) tr3 tr i r + Q I ¾ x o ( ) tr i Z o2 ¾ I tr2 × x o ( ) o3 tr3 Divisor de corriente (en el supuesto que en las líneas 2 y 3 no existen ondas reflejadas): Relación entre coeficiente de reflexión de tensión y él de corriente: ¾ I tr2 x o ( ) × i r + é ë ù û Z o3 o2 æ ç è ö ÷ ø G v ¾ x ( ) Z o - I r × i ¾ I tr3 x o ( ) × i r + é ë ù û Z o2 o3 æ ç è ö ÷ ø G v ¾ x ( ) I -

IMPEDANCIA DE LA LÍNEA é ë ù û é ê ë ù ú û Z ¾ x ( ) X x=L Gen. x=0 Carga Z ¾ x ( ) V I ¾ Z x ( ) o 1 G v + - × Z ¾ x ( ) V i r + I 1 G v ¾ x ( ) - Z o + é ë ù û × Z ¾ x ( ) V i I 1 G v + × G v ¾ x ( ) × 1 Z o + é ê ë ù ú û - Z ¾ x ( ) o 1 G v + - × G v ¾ x ( ) × Z o - +

REFLEXIONES EN DIFERENTES TIPOS DE CARGA (Zo=Real) V i ¾ ( ) Z r C.C. ¾ I i ( ) r - V ¾ ( ) V i ¾ ( ) r - Z o ¾ I i × ( ) r I ¾ ( ) I ¾ ( ) 2 i × V ¾ ( ) 2 i × X=0 X=0 G V ¾ ( ) -1 G V ¾ ( ) 1 G I ¾ ( ) 1 - G I ¾ ( ) 1 x=0 Zo (real) Leyenda: Vi=rojo, Vr=azul, Ii=marrón, Ir=verde

REFLEXIONES EN DIFERENTES TIPOS DE CARGA (Zo=Real) v ¾ ( ) × 3 Z o - + Z c ¾ 1 3 o × Ð 60º G v ¾ ( ) 0.73 Ð 147 × º Rc=3Zo G v ¾ ( ) × 1 2 G I ¾ ( ) 0.73 Ð × 33 º - V r ¾ ( ) 1 2 i × X=0 X=0 G I ¾ ( ) × 1 2 - I r ¾ ( ) 1 2 - i × x=0 Leyenda: Vi=rojo, Vr=azul, Ii=marrón, Ir=verde

REFLEXIONES EN DIFERENTES TIPOS DE CARGA Zc=Zo (Zo=Real) G v ¾ Q v ¾ ( ) 1 V Zc i Zc=Zo 

INTERFERENCIA La presencia de dos ondas en el mismo medio produce el fenómeno de la interferencia, al sumarse estas ondas punto a punto e instante a instante. Si las ondas tienen la misma frecuencia, el resultado de la suma es una onda que no aparenta movimiento, denominada onda estacionaria. El fenómeno puede visualizarse con facilidad en una línea de transmisión donde estén presente la onda incidente y la onda reflejada, ambas sinusoidales. El análisis de los vectores rotantes para las ondas de tensión incidente y reflejada muestra lo siguiente: x=0 x=/8 - 45º 45º x=/8+/4 135º =-  = -135º Con separación /4 se suceden máximos y mínimos de la amplitud del fasor resultante: se produce un máximo de interferencia cuando la onda incidente y reflejada se suman en fase; se produce un mínimo de interferencia cuando onda incidente y reflejada se suman en contrafase

LA ONDA ESTACIONARIA EN UNA LÍNEA SIN PÉRDIDAS 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 2 1.5 1 0.5 l/2 l/4 l/4 Morado: onda incidente Azul: onda reflejada Rojo: picos de la onda estacionaria x v i x ( ) 1 cos w t o × 2 p l + æ ç è ö ÷ ø v r x ( ) 0.5 cos w t o × 2 p l - + æ ç è ö ÷ ø V i ¾ x ( ) 1 Ð b × V r ¾ x ( ) 0.5 Ð b - × p 2 + æ ç è ö ÷ ø V oe ¾ x ( ) 1 Ð b × 0.5 - p 2 + æ ç è ö ÷ ø V oe ¾ x ( ) × 1 cos b 0.5 - p 2 + æ ç è ö ÷ ø sin

LA RELACIÓN DE ONDA ESTACIONARIA (ROE) Es un indicador del grado de desacoplamiento entre la carga y la línea: cuanto mayor será la amplitud de la onda reflejada en línea (potencia rechazada por la carga) tanto mayor será el desacoplamiento. A mayor amplitud de la onda reflejada, mayor la excursión entre máximos y mínimos de interferencia en la onda estacionaria. ROE V máx mín ROE V i r + - ROE 1 G v + -

SIGNIFICADO DEL PATRÓN DE ONDA ESTACIONARIA EN LÍNEAS SIN PÉRDIDAS Ch A Ch B x=L Gen. x=0 Carga

ONDA ESTACIONARIA EN LÍNEAS CON PÉRDIDAS 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 4 2 Morado: onda incidente Azul: onda reflejada Rojo: picos de la onda estacionaria x