Problemas Clásicos y Paradojas en la Teoría de Probabilidades

El Rig Veda, entre 1400 y 1100 años A.C. menciona el juego de dados. El Rig Veda, entre 1400 y 1100 años A.C. menciona el juego de dados. La mitología griega atribuye su invención a Palamedes, para entretenimiento de los soldados durante el sitio de Troya, en el siglo X u XI A.C. La mitología griega atribuye su invención a Palamedes, para entretenimiento de los soldados durante el sitio de Troya, en el siglo X u XI A.C.

OBJETO La teoría de probabilidad estudia los fenómenos llamados aleatorios (similares al juego de dados) en los que el conocimiento de las condiciones iniciales no permite predecir con exactitud la evolución y el resultado final del fenómeno. Sólo estudia aquellos fenómenos que pueden repetirse ilimitadamente en las mismas condiciones iniciales.

LOS PIONEROS Galileo, Considerazione sopra il giuoco dei dadi, 1612 Galileo, Considerazione sopra il giuoco dei dadi, 1612 Pierre Fermat, correspondencia con Pascal, 1654 Pierre Fermat, correspondencia con Pascal, 1654 Blas Pascal, Traité du triangle arithmétique, 1654 Blas Pascal, Traité du triangle arithmétique, 1654 Huygens, Libellus de ratiocinii in ludo aleae, 1656 Huygens, Libellus de ratiocinii in ludo aleae, 1656 Jakob Bernouilli, Ars conjectandi, 1705 y 1718 Jakob Bernouilli, Ars conjectandi, 1705 y 1718 Nikolau Bernouilli, De usu artis conjectandi in jure, 1709 Nikolau Bernouilli, De usu artis conjectandi in jure, 1709 Pierre Rémond de Montmort, Essay d’analyse sur les jeux de hazard, 1708 y 1713 Pierre Rémond de Montmort, Essay d’analyse sur les jeux de hazard, 1708 y 1713 Abraham De Moivre, Doctrine of chances, 1718 Abraham De Moivre, Doctrine of chances, 1718 P.S. Laplace, Théorie analytique des probabilités, 1812 P.S. Laplace, Théorie analytique des probabilités, 1812

Galileo ( ) Fermat ( ) Pascal ( ) Huygens ( ) Newton_________________________________ Leibniz______________________ Leibniz______________________ Jakob Bernouilli_________ Jakob Bernouilli_________ Johan Bernouilli__________________________ Johan Bernouilli__________________________ Nikolaus I Bernouilli___________________ Nikolaus I Bernouilli___________________ Montmort________________ Montmort________________ De Moivre________________________________ De Moivre________________________________ Laplace ( ) Laplace ( )

ESPACIO MUESTRAL DE 2 DADOS A = {S = 5} = { (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) }

DEFINICIÓN CLÁSICA “Probabilidad de un suceso es la razón entre el número de casos favorables y el número total de casos posibles, siempre que nada obligue a creer que alguno de estos casos debe ocurrir con preferencia a los demás, lo que hace que todos sean, para nosotros, igualmente posibles.” Pierre-Simon Laplace, Essai philosophique sur les probabilités “Probabilidad de un suceso es la razón entre el número de casos favorables y el número total de casos posibles, siempre que nada obligue a creer que alguno de estos casos debe ocurrir con preferencia a los demás, lo que hace que todos sean, para nosotros, igualmente posibles.” Pierre-Simon Laplace, Essai philosophique sur les probabilités

PROBLEMA DE GALILEO Juego del “pasadiez”

CASOS FAVORABLES Suma 9 Combinac. #Casos Suma 10 Combinac. #Casos Suma 11 Combinac. #Casos Suma 12 Combinac. #Casos Total Total Total Total 25

LAS PROBABILIDADES EN EL PROBLEMA DE GALILEO

CHEVALIER DE MÈRÈ Antoine Gombaud −Caballero de Mèrè− fue un escritor y matemático aficionado francés. Famoso por haber planteado a Blas Pascal dos problemas que dieron origen a la teoría de probabilidades. Antoine Gombaud −Caballero de Mèrè− fue un escritor y matemático aficionado francés. Famoso por haber planteado a Blas Pascal dos problemas que dieron origen a la teoría de probabilidades.

PROBLEMA I Probabilidad de obtener (al menos) un doble 6 en 24 lanzamientos de 2 dados Probabilidad de obtener (al menos) un doble 6 en 24 lanzamientos de 2 dados Cálculo de de Mèrè: p = 24(1/36) = 2/3 Cálculo de de Mèrè: p = 24(1/36) = 2/3 Cálculo de Pascal: Cálculo de Pascal:

Problema II (de los puntos) AAAAAABBBBBA AAAAAABBBBBA AAABABABBBAB AAABABABBBAB AABABAABBABB AABABAABBABB ABAABABAABBB ABAABABAABBB BAAABBAABBBB BAAABBAABBBBABBA

GENERALIZACIÓN: PROBABILIDADES DISTINTAS (DE MONTMORT, 1708) Problema de las coincidencias

JEU DU TREIZE Fórmula de inclusiones y exclusiones

Pierre Rémond de Montmort ( ) En correspondencia y amistad con Nicolás Bernouilli y otras personalidades científicas de su época. En correspondencia y amistad con Nicolás Bernouilli y otras personalidades científicas de su época. Miembro de la Royal Society y de la Académie Royal des Sciences. Miembro de la Royal Society y de la Académie Royal des Sciences. Hizo reeditar la obra póstuma de Jacobo Bernouilli: Ars Conjectandi (1713). Hizo reeditar la obra póstuma de Jacobo Bernouilli: Ars Conjectandi (1713). Obra propia: Essay d’analyse sur les jeux de hazard (1708) Obra propia: Essay d’analyse sur les jeux de hazard (1708) Dueño del Château de Montmort. Dueño del Château de Montmort.

Regularidad Estadística Essai philosophique sur les probabilités (Laplace, 1814) 1. Londres, S.Petersburgo, Berlin, toda 1. Londres, S.Petersburgo, Berlin, toda Francia: Francia: 2. Paris ( ): 2. Paris ( ):

Ensayos de Bernouilli; Ley binomial, Jakob Bernouilli, sus investigaciones entre 1684 y 1689 Probabilidad de k éxitos en n ensayos independientes

Experimento de W. F. R. Weldon lanzamiento de 12 dados contando 5 o 6 como éxito (carta a Galton, 1894) Distribución teórica (ley binomial)

Weldon’s dice experiment (26306 lanzamientos de doce dados) Número de Frecuencia Frecuencia Desvío Número de Frecuencia Frecuencia Desvío éxitos observada teórica éxitos observada teórica_______________________________________________________________

ESPACIO MUESTRAL Cada evento A está representado por un conjunto de resultados posibles (el conjunto de los casos favorables al evento). Cada evento A está representado por un conjunto de resultados posibles (el conjunto de los casos favorables al evento). El evento A ocurre si y sólo si el resultado e pertenece al conjunto A. No ocurre en caso contrario. El evento A ocurre si y sólo si el resultado e pertenece al conjunto A. No ocurre en caso contrario. Evento imposible: Ø Evento seguro: Ω Evento imposible: Ø Evento seguro: Ω

PROBABILIDAD

REGLAS BÁSICAS

LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS Jakob Bernouilli ( ) Obra póstuma: Ars Conjectandi, 1713

El teorema de De Moivre-Laplace

PROBABILIDAD GEOMÉTRICA Ω F

Paradoja de Bertrand (1) A

Una cuerda se determina por su punto medio

Paradoja de Bertrand (2)

Paradoja de Bertrand (3)

Elección de un punto al azar (con densidad uniforme) en el disco unitario |z| ≤ 1

Joseph Louis Bertrand Ingeniero en Minas, matemático y economista francés profesor en la École Polytechnique y el Collège de France Obras Traité élémentaire d’algebre,1851 Traité élémentaire d’algebre,1851 Traité de calcul differentiel et de calcul integral, Traité de calcul differentiel et de calcul integral, Théorie des Richesses …,Journal des Savants, 1883 Théorie des Richesses …,Journal des Savants, 1883 Thermodinamique, 1887 Thermodinamique, 1887 Leçons sur la théorie mathématique de l’électricité, 1890 Leçons sur la théorie mathématique de l’électricité, 1890

Paradoja de Monty Hall Uno de los gabinetes contiene Un automóvil

Diagrama de árbol 1/3 A2A2 A3A3 B2B2 p B3B3 q B3B3 B2B2 1 1 A1 A1

Probabilidad de A2 dado B3

Persistencia de la mala suerte

Cálculo del valor medio E(N)

OBJECIONES Si buscara el primer usuario que tardó menos que yo en recibir el servicio, hallaría el mismo resultado. Si buscara el primer usuario que tardó menos que yo en recibir el servicio, hallaría el mismo resultado. Réplica: en nuestra memoria registramos más vivamente cuando nos va mal que cuando nos va bien. Réplica: en nuestra memoria registramos más vivamente cuando nos va mal que cuando nos va bien. Cualquier otro cliente podría hacer el mismo razona- miento. Cualquier otro cliente podría hacer el mismo razona- miento. Réplica: no es frecuente ponerse en el lugar del otro Réplica: no es frecuente ponerse en el lugar del otro

Guarda bien esta máxima en tu mente, consuelo del mortal atribulado: no hay mal como el propio y el presente; no hay bien como el ajeno y el pasado. Joaquín María Bartrina

SUCESIONES DE DÍGITOS ALEATORIOS TESTS DE ALEATORIEDAD PROBLEMA DEL COLECCIONISTA

PROBLEMA DEL COLECCIONISTA Una colección C de n figuritas: Una colección C de n figuritas: Se realizan compras sucesivas hasta lograr la colección completa Se realizan compras sucesivas hasta lograr la colección completa

Probabilidad de que sea N = r Valor medio de N

Caso especial: n = 10 C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} E(N) = 10(1+1/2+1/3+ ··· +1/10) E(N) = 10(1+1/2+1/3+ ··· +1/10) = (aprox.) = (aprox.)

UN EXPERIMENTO CON DÍGITOS AL AZAR …………………………………………………. N = 29, 22, 25, 32

29, 22, 25, 32, 32, 20, 35, 22, 30, 27, 36, 27, 21, 47, 31, 39, 39, 14, 25, 21, 40, 57, 39, 41, 30, 24, 17, 15, 29, 23, 24, 42, 27, 14, 17, 36, 36, 30, 21, 30, 47, 16, 17, 48, 23, 19, 17, 28, 20, 28

Evolución del promedio n An

Problema de los diez cazadores y las diez palomas Cazadores: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Palomas: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Palomas: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Salvadas: 1, 5, 8 Salvadas: 1, 5, 8

Primer dígito significativo de un número N elegido al azar en un anuario demográfico o de producción agraria, industrial o minera

Anomalous numbers Benford’s first-digit law

RADIOS ORBITALES EN EL SISTEMA SOLAR

UN CASO REAL En los años 70 la fiebre hemorrágica, también conocida como “mal de los rastrojos” o “mal de Junín” afectaba al 1% de los peones rurales en la provincia de Buenos Aires. En los años 70 la fiebre hemorrágica, también conocida como “mal de los rastrojos” o “mal de Junín” afectaba al 1% de los peones rurales en la provincia de Buenos Aires. Un equipo de investigadores ensayó una vacuna en 200 peones escogidos al azar, ninguno de los cuales contrajo la enfermedad. Un equipo de investigadores ensayó una vacuna en 200 peones escogidos al azar, ninguno de los cuales contrajo la enfermedad. ¿Es evidencia en favor de la vacuna? ¿Es evidencia en favor de la vacuna?

Aplicación de la ley binomial

Aproximación de Poisson

Muchas gracias a todos por haber venido y en especial al Ing. Fazzini, a quien corresponde el mérito de la presentación