Juegos con transferencia de utilidad Juegos Cooperativos Juegos con transferencia de utilidad

JUEGOS COOPERATIVOS Hay situaciones donde las decisiones se toman en grupos deliberativos por votación . Para imponer una política es necesario una cantidad de votos que se denomina mayoría .Cuando ningún jugador tiene la mayoría absoluta es necesario conformar alianzas o coaliciones . Se trata ahora de analizar la posibilidad de formar una coalición de parte de los jugadores, de que esa coalición sea estable y de cómo se deben repartir los premios (ganancias y/o responsabilidades) entre los miembros de la coalición para que ninguno de ellos esté interesado en deshacer la coalición.

Supongamos que tres jugadores, Ana, Benito y Carmen, tienen que repartirse entre sí cien euros. El sistema de reparto tiene que ser adoptado democráticamente, por mayoría simple, una persona un voto. Hay cuatro posibles coaliciones vencedoras: ABC, AB, BC y AC, pero hay infinitas formas de repartir los pagos entre los tres jugadores.

Juegos cooperativos sin solución Supongamos que Ana propone un reparto de la forma A=34, B=33 y C=33. Benito puede proponer un reparto alternativo de la forma A=0, B=50 y C=50 Carmen estará más interesada en la propuesta de Benito que en la de Ana. Pero puede proponer una alternativa aún mejor para ella: A=34, B=0 y C=66. A Benito es posible que se le ocurra alguna propuesta mejor para atraer a Ana. El juego puede continuar indefinidamente. No tiene solución. No hay ninguna coalición estable. Sea cual sea la propuesta que se haga siempre habrá una propuesta alternativa que mejore los pagos recibidos por cada jugador de una nueva mayoría.

Solución: acuerdo perdurable En los juegos con transferencia de utilidad se llama solución a una propuesta de coalición y de reparto de los pagos que garantice estabilidad, es decir, en la que ninguno de los participantes de una coalición vencedora pueda estar interesado en romper el acuerdo.

Votos calificados o ponderados Modifiquemos ahora el ejemplo. En vez de "un hombre un voto" consideremos que hay voto ponderado. Ana tiene derecho a seis votos, Benito a tres y Carmen a uno. Las posibles mayorías son las siguientes: ABC, AB, AC, A. En esta situación Ana propondrá un reparto de la siguiente forma: A=100, B=0 y C=0. Ese reparto se corresponde con una coalición estable en la que los seis votos de Ana estarán a favor. Es una solución única. Ana no aceptará ningún reparto en el que ella obtenga menos de 100 euros y sin la participación de Ana no hay ninguna coalición vencedora.

Valor del juego: pago que recibe cada jugador Se llama "valor del juego" al pago que un jugador tiene garantizado que puede recibir de un juego si toma una decisión racional, independientemente de las decisiones de los demás jugadores. Ningún jugador aceptará formar parte de una coalición si no recibe como pago al menos el valor del juego.

En los ejemplos anteriores :En el juego 1, el valor del juego es cero para los tres jugadores. En el juego 2 el valor del juego para Ana es cien y para Benito y Carmen es cero. 

MODELO DE JUEGO COOPERATIVO Condiciones a su aplicación: Mas de dos jugadores Vocación de formar alianza o coalición Decisiones racionales Cuerpo colegiado donde las decisiones se toman por mayoría . Autorquía : los miembros pueden decidir por si mismos. No hay castigos, ni premios por fuera del colegiado. Período previamente estipulado

Los juegos cooperativos (def, matemática) Un juego cooperativo es: para nosotros, un par (N; v), donde N es el conjunto de n jugadores y v es una función que nos dice el valor que cada subconjunto de N puede obtener, es decir, v : 2N en R. A cada uno de los posibles grupos S incluidos o iguales a N que los jugadores de N pueden formarle llamaremos una coalición, con lo que v(S) nos informa sobre cuánto (premio)puede obtener la coalición S

Valor de Shapley Se llama "valor de Shapley" a la asignación que recibe cada jugador en una propuesta de reparto según un criterio de arbitraje diseñado por Lloyd S. Shapley. El criterio consiste en asignar un pago a cada jugador en proporción al número de coaliciones potencialmente vencedoras en las que el jugador participa de forma no redundante.

El modelo del pequeño mercado muestra una estructura de mercado en la que hay un vendedor (jugador 1) de cierto bien que no podemos dividir en partes ( por ejemplo, en un automóvil como bien de uso), y dos compradores (jugador 2 y jugador 3) que desean comprar ese bien. Las valoraciones que a priori se le asignan a las coaliciones serán, en este caso, un reflejo del éxito o fracaso de la negociación entre el vendedor y el comprador dependiendo de cómo se emparejen, y no una predicción sobre quién de los dos obtendrá el bien .En este caso, asignamos la valoración a todas las posibles coaliciones de la siguiente forma: V ({1, 2, 3}) = V ({1, 2}) = V ({1, 3}) = 1 (“si hay vendedor y comprador, el negocio se lleva a cabo”) V ({1}) = V ({2}) = V ({2, 3}) = 0 (“si solo hay compradores o vendedor, no se realiza el negocio”) Existen varias “soluciones” a ese tipo de juegos en forma cooperativa. Por supuesto, una “solución” debe significar una repartición de la riqueza

Un juego cooperativo consiste en un conjunto de jugadores N y una asignación monetaria V (S) para cada subcoalición S incluido en N. El problema que se intenta resolver es: ¿Cómo distribuir la riqueza total V (N) entre todos los participantes? El valor de Shapley busca solucionarlo imponiendo ciertas condiciones a la distribución: Si xi, i E N, es la asignación que recibiría en la distribución de Shapley el jugador i, entonces a) (Eficiencia) x1 + x2 + ...xn = V (N) b) (Jugador “dummy” o fantasma) Si para algún i E N, V (S u {I}) =V (S) para toda coalición S, entonces xi = 0 c) (Simetría) Si las valoraciones de las coaliciones no cambian cuando se reemplaza un jugador por cualquier otro, entonces, todos reciben lo mismo. Es decir, x1 = ... = xn. d) (Aditividad) Si V y W son dos valoraciones distintas sobre el mismo conjunto N de jugadores, entonces la asignación de cualquier jugador para la valoración V y para la valoración W es aditiva. Es decir, para todo i E N, xi (V +W) = xi(V ) + xi (W)

Fórmula de cálculo valor de Shapley

Ejemplo – Pequeño Mercado – • N = {1,2,3}; 1 es vendedor; 2, 3 son compradores: • v(i) =0; v(1,2) = v(1,3) = v(1,2,3) = 1; v(2,3) =0. • ϕi(i) = 0; ϕ1(1,i) = ϕi(1,i) = ½; ϕi(2,3) = 0; ϕ1(1,2,3) = 2(0 + 1 + 1)/3! = 2/3; l vendedor tiene dos opciones ϕ2(1,2,3) = ϕ3(1,2,3) = 1/3! = 1/6. Los compradres cada uno una sola [el valor del vendedor es 2/3, y los compradores tienen la misma posibilidad de comprar]

Ejemplo: El inventor Una persona (1) ha inventado un producto, pero no puede fabricarlo el sólo a gran escala. Hay dos fábricas posibles (2 y 3) que podrían comercializarlo y repartir una ganancia de 2 millones de Euros con el inventor. La función característica sería entonces: V(0)=V(i)=V ({1}) =V ({2}) = V({3}) = V ({2, 3}) =0, V({1, 2}) = V({1, 3}) = V({1, 2, 3}) = 2.

Ejemplo Elecciones Municipales Supongamos un municipio en el que cinco partidos políticos se han presentado a las elecciones: el Partido Austero (PA), el Partido Benefactor (PB), el Partido Comunal (PC), el Partido Democrático (PD) y el Partido de la Esperanza (PE). En las elecciones, han obtenido el siguiente número de concejales: PA=11 PB=8 PC=5 PD=2 PE=1 Como ningún partido ha conseguido la mayoría absoluta, es necesario que se forme una coalición para gobernar el municipio. El presupuesto anual del municipio es de 520 millones de euros. La coalición gobernante debe asignar los cargos y las responsabilidades del mismo a los diferentes partidos. En las negociaciones se debe acordar el reparto del presupuesto, cargos y responsabilidades entre los partidos. Suponemos que no hay simpatías ni antipatías ideológicas (vocación de coalición) y que los cargos y responsabilidades son valorados exclusivamente según el presupuesto económico que controlan. Supondremos, para simplificar, que hay disciplina de voto y que no son posibles las traiciones internas 

Como el número total de concejales es 27, la coalición vencedora debe disponer al menos de 14 votos. A diferencia del juego anterior , no hay ningún jugador imprescindible para ganar. Si utilizamos la definición que dimos arriba, el valor del juego para todos los jugadores es cero ya que ninguno tiene garantizada su pertenencia a la coalición vencedora.

Coaliciones: ABCDE ABCD ABCE ABDE ACDE BCDE ABC ABD ACD BCD ABE ACE BCE ADE BDE CDE AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE   A B C D E Ganadoras no redundantes( si quito al jugador la coalición deja de ser ganadora) : A tiene 11 , B 8 ,C 5 ,D 2 y E sólo 1 voto , se requieren 14 votos A=ABDE,ACDE,ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,AB,AC Total 10 B=BCDE,BCD,BCE,ABD,ABE, AB Total 6 C=ACD,ACE,AC,BCDE,BCD,BCE Total 6 D=ADE, BCD Total 2 E=ADE, BCE total 2

Veamos en nuestro ejemplo: Ganadoras no redundantes : A=10 B=6 C=6 D=2 E=2 Total GNR 26 Hacemos 520/26 = 20 A:200,B=120,C=120,D=40 y E=40

Ejemplo 2 En una empresa se deben distribuir 17.000.000 de euros entre cinco grupos que componen el directorio con las siguiente composición A 4 directores, B 3 directores,C 2 directores, D y E uno cada uno. Mayoría 6 votos Alianzas vencedores no redundantes : AB 7;AC 6,ADE 6,ACE 7 y ACED 8 ABC 9 ABD 8 :ABE 8 ,ABDE 9 ACD 7 TOTAL DE A:10

BA 7 BCD 6 BCE 6 BCDE 7 BAD 8 BAE 8 TOTAL B 6 CA6 ,CBE 6 ,CBD 6 y CBDE 7 CAD 7 CAE 7 TOTAL C 6 ADE Y BCD 6 TOTAL 2 IDEM PARA E TOTAL NO REDUNDANTE GANADORAS 26 Valor de A 10/26 asignación 6538461 Valor de B 6/26 asignación 3923077 Valor de C 6/26 asignación 3923077 Valor de D 2/26 asignación 1306692 Valor de E 2/26 asignación 1306692

¿ QUE SE PUEDE MODELAR ? Cuerpos colegiados Formación de Alianzas Comportamiento animal: Estrategias estables evolucionarias Evaluación de Aprendizajes: Refuerzo de modelos de aprendizaje Equilibrio autoconfirmado Acuerdos autoaplicados: Equilibiro de Nash y refinamientos Reflexión entre jugadores racionales “Epistemología interactiva”

Comparación entre Juegos El concepto no cooperativo No hay comunicación No hay ejecución de contrato Formulación (N,S,H) N es un conjunto de jugadores Soluciones: (conjunto de perfiles estratégicos) H : Matriz de Pagos El concepto cooperativo Comunicación perfecta Ejecución de contrato perfecta Formulación (N,v) N es un conjunto de jugadores V conj.de valores Soluciones: (conj. de distrib. de valores )