Probabilidad Total Teorema de la probabilidad total Llamamos sistema completo de sucesos a una familia de sucesos A1, A2, ...,An que cumplen: 1. Son incompatibles dos a dos, Ai ∩ Aj = Ø 2. La unión de todos ellos es el suceso seguro, Teorema de la probabilidad total Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la expresión: Ejemplo: Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primero línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada línea. Determina la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería. Solución: El suceso "sufrir una avería" (Av) puede producirse en las tres líneas, (L1, L2, L3). Según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos: P(Av) = P(L1) · P(Av/L1) + P(L2) · P(Av/L2) + P(L3) · P(Av/L3) = = 0.6 · 0.02 + 0.3 · 0.04 + 0.1 · 0.01 = 0.012 + 0.012 + 0.001 = 0.025

Ejercicios propuestos: Se realiza un estudio para estudiar el diagnóstico de seropositividad en VIH según lo valores de T4-T8, obteniéndose la siguiente tabla: VIH T4-T8 baja T4-T8 normal n Seronegativos 8 54 62 Sero+ ≤ 30 meses 10 4 14 Sero+ > 30 meses 22 2 24 Total 40 60 100 1.Describe el espacio muestral asociado 2.Calcula la probabilidad de cada uno de los sucesos

Ejercicios propuestos: La prevalencia de infarto cardíaco para hipertensos es del 0,3% y para no hipertensos del 0,1%. Si la prevalencia de hipertensión en una cierta población es del 25% ¿Cuál es la prevalencia del infarto en esa población? Solución: A1 = {ser hipertenso} A2 = {no serlo} estos sucesos constituyen un sistema competo de sucesos B = {padecer infarto} datos: p(B|A1) = 0,003; p(B|A2) = 0,001; p(A1) = 0,25 evidentemente p(A2) = 1-p(A1)=0,75 p(B) = p(B|A1)x p(A1)+ p(B|A2)x p(A2) = = 0,001 0,003x0,25 + 0,001 x 0,75 = 0,0015

Teorema de Bayes Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai). entonces la probabilidad P(Ai/B) viene dada por la expresión:

Ejemplo: Si seleccionamos una persona al azar, la probabilidad de que sea diabética es 0,03. Obviamente la probabilidad de que no lo sea es 0,97. P(D)=0.03: P(NB)=0.97 Si no disponemos de información adicional nada más podemos decir, pero supongamos que al realizar un análisis de sangre los niveles de glucosa son superiores a 1.000 mg/l, lo que ocurre en el 95% de los diabéticos y sólo en un 2% de las personas sanas. P(HG/D)=0.95 P(HG/ND)=0.02 ¿Cuál será ahora la probabilidad de que esa persona sea diabética? P(HG)=P(HG/D)xP(D)+P(HG/ND)xP(ND)=0.95x0.03+0.02x0.97=0.0479 Vemos así que la información proporcionada por el análisis de sangre hace pasar, la probabilidad inicial de padecer diabetes de 0,03, a 0,595. Evidentemente si la prueba del análisis de sangre hubiese sido negativa, esta información modificaría las probabilidades en sentido contrario. En este caso la probabilidad de padecer diabetes se reduciría a 0,0016.

Solución: P(N)=P(F1) · P(N/F1) + P(F2) · P(N/F2) + P(F3) · P(N/F3) = Ejercicio propuesto: Estudiamos 1000 alumnos en tres facultades de la UAM. En la 1ª hay un neurótico por cada 10 alumnos, en la 2ª 1 por cada 15 y en la 3ª 1 por cada 20. El número de alumnos por facultad es de 200, 300 y 500. Tomamos un individuo al azar y vemos que es neurótico ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca a la facultad número 3? Solución: Lo que tenemos que calcular es p(F3/N), por el Teorema de Bayes tenemos En primer lugar calculamos la probabilidad de pertenecer a cada Facultad: P(F1) = 200/1000=0.2; P(F2)=300/1000=0.3; P(F3)=500/1000=0.5. En segundo lugar las probabilidades de ser neurótico en cada una de ellas: P(N/F1)=1/10=0.1; P(N/F2)=1/15=0.066; P(N/F3)=1/20=0.05 Podemos calcular por tanto la “Probabilidad Total” de ser neurótico P(N)=P(F1) · P(N/F1) + P(F2) · P(N/F2) + P(F3) · P(N/F3) = = 0.2 · 0.1 +0.3 · 0.066 + 0.5 · 0.05 = 0.064 Por último, utilizando el teorema de Bayes

Ejercicio propuesto: Una prueba diagnóstica para el cáncer uterino tiene un coeficiente falso-positivo de 0,05 y falso-negativo de 0,10. Una mujer con una probabilidad pre-prueba de padecer la enfermedad de 0,15 tiene un resultado negativo con la misma. Calcular la probabilidad de que no esté enferma. Solución: Sea NE = {la mujer no está enferma}, + = {el resultado de la prueba es positivo} y = {el resultado de la prueba es negativo}. La pregunta pide P(NE|-). Los datos que se dan son p(+|NE)=0,05; p(-|E)=0,10 y p(E)=0,15. Del primero se deduce que p(-|NE)=0,95 y del último p(NE)=0,85, por lo tanto aplicando el teorema de Bayes