Conteo Capítulo 1 Grimaldi

Contenidos Introducción Reglas Permutación Combinación Coeficiente de la suma del producto Permutación sin repeticiones con repeticiones elementos repetidos circular Combinación sin repeticiones con repeticiones Coeficiente binomial Multinomial Ejercicios Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Introducción Incertidumbre información masiva nos rebasa varias opciones juntas causan una “explosión” de posibilidades Ocupamos métodos que nos ayuden a saber de “cuánto estamos hablando”. Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Conteo Combinatoria Enunciar la cantidad de opciones, posibilidades, maneras, patrones, objetos con ciertas características, etc. Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Conteo Aplicaciones en Teoría de códigos Probabilidad y estadística Análisis de algoritmos Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Reglas Conceptos básicos de conteo Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Regla de la suma Si una primera tarea puede realizarse de m formas, mientras que una segunda tarea puede realizarse de n formas, y no es posible realizar ambas tareas de manera simultánea, entonces, para llevar a cabo cualquiera de ellas pueden utilizarse cualquiera de m + n formas. Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

|Sociología| + |Antropología|= Regla de la suma Sociología (40) Antropología (50) |Sociología| + |Antropología|= 40 + 50= 90

|MaestroA  MaestroB| = x Regla de la suma MaestroA (5) MaestroB (3) MaestroA (5) MaestroB (3) MaestroA (5) |MaestroA  MaestroB| = x 5  x  8 MaestroB (3)

m n Regla del producto Si un procedimiento se puede descomponer en las etapas primera y segunda, y si existen m resultados posibles de la primera etapa y, si para cada uno de estos resultados, existen n resultados posibles para la segunda etapa, entonces el procedimiento total se puede realizar, en el orden dado, de mn formas. Principio de elección Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Ejemplo 1 Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Ejemplo 2 Principio de elección a b Comité A 1 Comité B 2 3

Permutaciones El orden importa. Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Permutación Disposición lineal de objetos, dada una colección con n de éstos. Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Ejemplo 1 Permutaciones de “COMPUTER” Dos letras sin repeticiones Tomando cuatro letras sin repeticiones Dos letras sin repeticiones Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Ejemplo 2 Considerando {a…z, A…Z, 0-9, #,$,+,*} ¿Cuántas contraseñas de 5 caracteres son posibles si no se repite ningún caracter? Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Permutación con repeticiones Permutaciones de “COMPUTER” Tomando cuatro letras 84=4,096 Tomando dos letras 82=64 Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Otro ejemplo Cadenas de 3 letras con {a,b} Maneras de escoger la primer letra Maneras de escoger la tercer letra Maneras de escoger la segunda letra Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

¿Cuántos colores son posibles utilizando representación hexadecimal? utilizando el esquema RGB? ¿Cuántos son posibles utilizando representación hexadecimal? Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Disposiciones con elementos repetidos Existen n1 objetos (indistinguibles) de un primer tipo, n2 objetos de un segundo tipo,… y nr objetos de un r-ésimo tipo, Ej. “BALL”, “PEPPER” Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Ejemplos Disposiciones en BALL Disposiciones en PEPPER Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Ejemplo Disposiciones en BALL n=4 t1=“B”, n1=1 t2=“A”, n2=1 t3=“L”, n3=2 Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Ejemplo Disposiciones en PEPPER n=6 t1=“P”, n1=3 t2=“E”, n2=2 t3=“R”, n3=1 Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Ejemplo Disposiciones en MASSASAUGA n=10 t1=“M”, n1=1 t2=“A”, n2=4 t3=“S”, n3=3 t4=“U”, n4=1 t5=“G”, n5=1 Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Disposiciones circulares Si seis personas, designadas como A, B, …,F se sientan en torno de una mesa redonda, ¿cuántas disposiciones circulares diferentes son posibles, si las disposiciones se consideran iguales cuando una puede obtenerse de otra mediante una rotación? Ejemplo: ABEFCD = BEFCDA Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Disposiciones circulares 6 rotaciones por cada disposición. Ejemplo: ABEFCD / BEFCDA / EFCDAB / FCDABE / CDABEF / DABEFC / Por tanto, si d = disposiciones circulares Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Disposiciones circulares Otra manera de resolver el problema: Dejar “A” fijo Calcular las disposiciones lineales de B…F (=5!) Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Disposiciones circulares Supongamos ahora que las personas deben sentarse alternando sexos (hombre-mujer). Igual, se deja “A” fijo (mujer 1) 3 maneras de escoger cómo se sentará el hombre 1 2 “ ” la mujer 2 2 “ ” el hombre 2 1 “ ” la mujer 3 1 “ ” el hombre 3 Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Selecciones. No importa el orden. Combinaciones Selecciones. No importa el orden. Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Combinaciones (sin repetición) Selección de n objetos sin tener en cuenta el orden. “Combinaciones de n en r”, “Combinaciones de n tomando r” Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Ejemplo 1 Obtener 3 cartas de una baraja normal A, J, R = A, R, J = R, J, A = J, R, A = J, A, R = R, A, J Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Ejemplo 2 Ejemplo: Tienes 4 amigos y escoges 2 para llevar al baile. {a1, a2} / {a1, a3} / {a1, a4} / {a2, a3} / {a2, a4} / {a3, a4} Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Equivalencia C(n, r) = C(n, n-r) Ejercicio: Demuestra esta equivalencia. Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Combinaciones con repetición Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Ejemplo 1 Escoger una docena de donas. n=20, r=12 Hay 20 tipos diferentes. (Suponemos que hay al menos una docena de cada tipo.) n=20, r=12 Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Teorema del binomio Coeficiente binomial Para (x + y)n Ejemplo: Se desea saber el coeficiente de los diferentes términos. Ejemplo: (x + y)2 = c1x2y0 + c2x1y1 + c3x0y2 = c1x2 + c2xy + c3y2 c1 = ? / c2 = ? / c3 = ? Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Teorema del binomio Corolario

Ejemplo 1 Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Ejemplo 2 Calcular el coeficiente de x5y2 en (x + y)7 Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Teorema multinomial Para (x1 + x2 + x3 +…+ xt)n

Ejemplos Para (x + y + z)7, calcular el coeficiente de x2y2z3 x3y0z4 Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Practiquemos Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Ejercicio Proporciona ejemplos de los conceptos vistos . Nivel 1 = Ejemplo didáctico (5 puntos) Nivel 2 = Ejemplo didáctico en ciencias computacionales (10 puntos) Nivel 3 = Ejemplo relacionado con un problema teórico o con un caso práctico actual (20 puntos) Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Ejercicio Se espera al menos un ejercicio por tema: Puede ser en equipo. Ejercicio Se espera al menos un ejercicio por tema: Reglas de suma y producto Permutaciones Combinaciones Calificación máxima: 200 Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Ejercicio Se espera al menos un ejercicio por tema: Puede ser en equipo. Ejercicio Se espera al menos un ejercicio por tema: Reglas de suma y producto Permutaciones Combinaciones Calificación máxima: 200 Puntos extra: ¿de cuántas maneras puedes resolver este ejercicio para obtener una calificación mayor o igual a 80? Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Ejercicio Algunas opciones para investigar Optimización combinatoria Física de partículas (checar Cap. 1 Grimaldi) Teoría de grafos Autómatas celulares Problemas NP-completos Criptografía Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Resumen Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo

Referencias Grimaldi, Ralph P (2003). Matemáticas Discreta y Combinatoria: Una Introducción con Aplicaciones. México: Addison Wesley Longman. 3a. Edición. Matemáticas Discretas para el Diseño Geométrico: Conteo