Gerenciamiento Técnico de Proyectos Clase Nro 23 Programación lineal Clase 23 - Programación lineal

Clase 23 - Programación lineal Los Recursos son limitados Hay un objetivo (función) Generalmente maximizar el beneficio o minimizar los costos. Este objetivo está sujeto a restricciones relacionadas con los recursos u otros aspectos. Tanto la función objetivo como las funciones de restricción son Lineales Los Recursos y los productos son homogéneos Las variables deben ser divisibles y no negativas Clase 23 - Programación lineal 3

Procedimiento Gráfico 1. Formular el problema en términos matemáticos 2. Dibujar las ecuaciones de restricción 3. Determinar el área de factibilidad 4. Dibujar la función objetivo 5. Encontrar el punto óptimo Clase 23 - Programación lineal 4

Clase 23 - Programación lineal Función Objetivo Maximizar (o Minimizar) Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn Cj es una constante que describe la tasa de contribución al costo o beneficio de las unidades producidas (Xj). Z es el costo o beneficio total de una cantidad dada de unidades a ser producidas Clase 23 - Programación lineal 5

Método Gráfico de PL Ejemplo de Maximización Una fábrica de muebles debe determinar el mix de modelos de mesas de comedor a ser producido el próximo año. La compañía produce dos líneas de producto la Max y la Multimax. El beneficio promedio es de $400 por cada Max y de $800 por cada Multimax. La fabricación está sujeta a recursos limitados de fabricación y armado. Hay una capacidad máxima de fabricación de 5000 horas por mes (Cada Max requiere 3 horas y cada Multimax requiere 5 horas). Hay un máximo de 3,000 hours de capacidad de armado disponibles por mes (Cada Max requiere 1 hora y cada Multimax requiere 4 horas). ¿Cuántas unidades de cada tipo de mesa deberían producirse cada mes para maximizar el beneficio? Clase 23 - Programación lineal 6

Clase 23 - Programación lineal Antes de comenzar Ya que el beneficio es tanto mayor para la línea Multimax que para la línea Max, ¿porqué no simplemente producir Multimax? Clase 23 - Programación lineal 7

Clase 23 - Programación lineal La Función Objetivo Clase 23 - Programación lineal 8

Restricciones Max (X1) Mutimax (X2) Tiempo por unidad Tiempo disponible por mes 3 5 5000 Fabricación 1 4 3000 Armado Clase 23 - Programación lineal 9

Dibujar las restricciones X2 3,000 2,000 1,000 A B C 0,0 X1 1,000 2,000 3,000 Clase 23 - Programación lineal 10

Dibujar las restricciones X2 3,000 2,000 1,000 A B C 0,0 X1 1,000 2,000 3,000 Clase 23 - Programación lineal 11

Determinar la pendiente de la función objetivo Recordar que , Y = mx + b En este caso: Y = X2, x = X1, y b = Z Z = 400X1 + 800X2 800X2 = - 400X1 + Z X2 = -1/2 X1 + Z/800 Pendiente = -1/2 Clase 23 - Programación lineal 12

Encontrar el punto óptimo X2 3,000 2,000 1,000 A B Z C 0,0 X1 1,000 2,000 3,000 Clase 23 - Programación lineal 13

Encontrar el punto óptimo X2 3,000 2,000 Punto Óptimo Z 1,000 A B C 0,0 X1 1,000 2,000 3,000 Clase 23 - Programación lineal 14

Encontrar el punto óptimo X2 3,000 El punto óptimo se encuentra en la intersección de esta dos líneas: 2,000 1,000 A B C 0,0 1,000 2,000 3,000 X1 Podríamos (y deberíamos) resolver el sistema de ecuaciones. Clase 23 - Programación lineal 15

Clase 23 - Programación lineal Resolución Producir 715 de Max y 571 de Multimax por mes Para una ganancia de $742800. Clase 23 - Programación lineal 16

Método Gráfico de PL Ejemplo de Minimización La fábrica de hormigón elaborado HiTech está desarrollando un plan para comprar cemento para sus operaciones. HiTech recibe cemento de dos fuentes, Industrias Hasbeen y Cementos Gentro en embarques diarios mediante grandes camiones. Cada carga de camión de cemento de Hasbeen carga 1.5 tn de cemento portland normal y 1 ton de cemento ARS a un costo de $15,000. Cada carga de camión de Gentro carga 1 tn de cemento portland normal y 3 tons de cemento ARS a un costo de $18,000. HiTech necesita al menos 6 tn de cemento portland normal y al menos 10 tn de cemento ARS por dia. ¿Cuántas cargas de camión se requieren de cada proveedor diariamente para un costo mínimo? Clase 23 - Programación lineal 17

Clase 23 - Programación lineal Función Objetivo Minimizar Z = 15,000 X1 + 18,000 X2 Z = costo diario de cemento X1 = cargas de camión de Hasbeen X2 = cargas de camión de Gentro Clase 23 - Programación lineal 18

Clase 23 - Programación lineal Restricciones Hasbeen (X1) Gentro (X2) Tn Min Tn 1.5 1 6 PN 3 10 ARS 1.5X1 + X2 > 6 (Portland normal--tn) X1 + 3X2 > 10 (ARS--tn) X1, X2 > 0 (restricción no negativa) Clase 23 - Programación lineal 19

Dibujar las Restricciones X2 10 PN 9 X1 X2 8 6 4 7 6 ARS X1 X2 5 3.333 4 10 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X1 Clase 23 - Programación lineal 20

Dibujar las Restricciones X2 10 PN X1 X2 6 4 ARS 3.333 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Clase 23 - Programación lineal 21

Determinar la pendiente de la Función Objetivo Minimizar Z = 15,000 X1 + 18,000 X2 X2 = -5/6 X1 + Z/18,000 Clase 23 - Programación lineal 22

Encontrar el punto óptimo X2 10 9 8 7 6 Punto Óptimo 5 4 3 2 1 X1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Clase 23 - Programación lineal 23

Encontrar el punto óptimo El punto óptimo de encuentra En la intersección de estas dos lineas: 1.5X1 + X2 = 6 (PN--tn) X1 + 3X2 = 10 (ARS--tn) 1.5X1 + X2 = 6 (PN--tn) 1.5X1 + 4.5X2 = 15 (ARS--tn) -3.5X2 = -9, X2 = 2.57 camiones Gentro X1 = 10 - 3(2.57) = 2.29 camiones Hasbeen Clase 23 - Programación lineal 24

Clase 23 - Programación lineal Resolución Minimizar Z = 15,000 X1 + 18,000 X2 Z = 15,000 (2.29) + 18,000(2.57) Costo diario = $34,350 + $46,260 = $80,610 Pedir diariamente 2.29 cargas camiones de Hasbeen y 2.57 Camiones de Gentro. El costo diario será de $80,610. Clase 23 - Programación lineal 25