Problemas de Mecánica de Medios Continuos TEMA 6 ELASTICIDAD LINEAL

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA En la figura se presenta un cilindro de radio R y altura h y su sección vertical El cilindro está sometido a una carga radial uniformemente distribuida de valor P ... ... y a un incremento de temperatura uniforme  R h P h  R

Planteamiento de problema Las propiedades del material del cilindro son las siguientes: Límite elástico: e Cohesión: C Ángulo de rozamiento interno: =30º Constante térmica :  Constantes de Lamé:  y  Densidad:  Para la resolución del problema se considerarán las siguientes hipótesis: H1 Se desprecia el peso propio. H2 El rozamiento cilindro-suelo es nulo. H3  = .

Planteamiento de problema Se pide : 1) Determinar el campo de desplazamientos, deformaciones y tensiones.

Desplazamiento vertical final nulo Planteamiento de problema Se pide : 2) Obtener el correspondiente valor de  para que, aplicando una p*>0, los puntos de la cara superior del cilindro no tengan desplazamiento vertical. Desplazamiento vertical final nulo  Estado inicial P*

Desplazamiento vertical nulo Planteamiento de problema Se pide : 3) Dadas las condiciones del Apartado 2, determinar el valor de p* para el cual el cilindro empieza a plastificar de acuerdo con los criterios de Tresca, Von-Mises y Mohr-Coulomb, indicando cual de dichos criterios está más del lado de la seguridad. Desplazamiento vertical nulo  P* Inicio Plasticidad

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA 1) Se pide determinar el campo de desplazamientos, deformaciones y tensiones en función de las constantes de integración. Dada la geometría de la figura, se utilizará un sistema de coordenadas cilíndricas. x z y êr ê êZ  r

= + Resolución aplicando la Primera Analogía Térmica: Estado I Resolución del problema Resolución aplicando la Primera Analogía Térmica:  b  = + Estado I Problema original Estado II Problema análogo Estado III Problema trivial

Las hipótesis del problema son: Las hipótesis del problema son: Resolución del problema Tenemos: Estado I Acciones: 1 Fuerzas másicas: 2 Se desprecia el peso propio. El rozamiento cilindro-suelos es nulo. = H1 H3 H2 Las hipótesis del problema son: b=0, las fuerzas másicas son nulas Se desprecia el peso propio. El rozamiento cilindro-suelos es nulo. = H1 H3 H2 Las hipótesis del problema son: Tracciones prescritas en el contorno: Aplicadas de forma radial en el contorno lateral. Aplicadas en la cara superior. Aplicadas en la base inferior. 3 Desplazamiento vertical nulo en la base.  4 Incremento de temperatura uniforme: 

Las hipótesis del problema son: Resolución del problema Resolución del problema Estado 2 Acciones: 1 Fuerzas másicas corregidas:  es constante  es uniforme Se desprecia el peso propio. El rozamiento cilindro-suelos es nulo. = H1 H3 H2 Las hipótesis del problema son: 2 Tracciones prescritas en el contorno: Aplicadas de forma radial en el contorno lateral. Aplicadas en la cara superior. Aplicadas en la base inferior. 3 Desplazamiento vertical: P+  Aplicado en la base inferior, para z=0. 4 Variación de la temperatura nula.  = 0

Ecuación Constitutiva Resolución del problema Estado 3 Problema trivial en el que se conocen, sin necesidad de cálculos, las respuestas y utilizando al Ecuación Constitutiva para material termoelástico lineal.  x z y êr ê êZ  Campo de desplazamientos: Campo de deformaciones: Campo de tensiones: Ecuación Constitutiva

Resolución del problema Se puede comprobar que esta solución es la respuesta a las siguientes acciones: 1 Fuerzas másicas corregidas:  es constante y  uniforme 2 Tracciones prescritas en el contorno: Aplicadas de forma radial en el contorno lateral. Aplicadas en la cara superior. Aplicadas en la base inferior. 3 Desplazamiento vertical: Aplicado en la base inferior, para z=0. 4 Incremento de temperatura uniforme: 

Estado I = Estado II + Estado III Resolución del problema Así queda: Estado I = Estado II + Estado III Estado I  b P Acción Respuesta Estado II P+  Acción Respuesta Estado III  Acción Respuesta

Resolución del problema Resolución del ESTADO II: x z y êr ê êZ  P+  Hipótesis sobre el campo desplazamientos: 1 Simetría cilíndrica. 2 Cargas uniformes.

Aplicando las hipótesis: Resolución del problema Resolveremos las Ecuaciones de Navier, expresadas en coordenadas cilíndricas, para obtener el campo de desplazamientos. Dichas ecuaciones son: Aplicando las hipótesis: Las fuerzas másicas son nulas. Donde:

Campo de desplazamientos: Resolución del problema Así queda: Integrando se obtiene el Campo de Desplazamientos en función de las constantes de integración. Campo de desplazamientos:

Campo de deformaciones: Resolución del problema Se calcula a continuación el Campo de Deformaciones: Campo de deformaciones: Así el Tensor de Deformaciones en función de las constantes de integración es: Tensor de deformaciones:

Las hipótesis del problema son: Resolución del problema Se calcula a continuación el Campo de Tensiones. Partimos de la Ecuación Constitutiva para material elástico lineal: Se desprecia el peso propio. El rozamiento cilindro-suelos es nulo. = H1 H3 H2 Las hipótesis del problema son: Operando queda: Tensor de tensiones:

Condiciones de contorno: Resolución del problema Obtenemos ahora el valor de las constantes de integración imponiendo las condiciones de contorno. Z=0 x z y êr ê êZ  P+  Condiciones de contorno: 1 Existe simetría de revolución: 2 Desplazamiento vertical nulo en la base:

Resolución del problema 3 Tracciones prescritas en el contorno: Aplicadas en el contorno lateral. Z=0 x z y êr ê êZ  P+  3.1 3.2 Aplicadas en la cara superior.

Resolución del problema Tenemos:

Campo de desplazamientos: Resolución del problema De esta manera obtenemos la solución del Estado 2: Campo de desplazamientos: Campo de deformaciones:

Tensor de tensiones: Resolución del problema Obs.: Nótese que el tensor de tensiones es uniforme, igual en todos los puntos. Por lo tanto, los valores que toman las componentes del tensor en los contornos en los que se aplican las tracciones prescritas, son iguales en todos los puntos del cilindro.

Campo de desplazamientos: Resolución del problema Resolución del ESTADO I: Obtendremos la solución como suma del Estado II y III. Campo de desplazamientos: Campo de deformaciones:

Resolución del problema Campo de tensiones:

+ = Resolución aplicando la Segunda Analogía Térmica: Estado I Resolución del problema Resolución aplicando la Segunda Analogía Térmica:  b  = + Estado I Problema original Estado II Problema análogo Estado III Problema trivial

Las hipótesis del problema son: Las hipótesis del problema son: Resolución del problema Tenemos: Estado I Acciones: 1 Fuerzas másicas: 2 Se desprecia el peso propio. El rozamiento cilindro-suelos es nulo. = H1 H3 H2 Las hipótesis del problema son: Se desprecia el peso propio. El rozamiento cilindro-suelos es nulo. = H1 H3 H2 Las hipótesis del problema son: b=0, las fuerzas másicas son nulas Tracciones prescritas en el contorno: Aplicadas de forma radial en el contorno lateral. Aplicadas en la cara superior. Aplicadas en la base inferior. 3 Desplazamiento vertical:  Aplicado en la base inferior, para z=0. 4 Incremento de temperatura uniforme: 

Las hipótesis del problema son: Las hipótesis del problema son: Resolución del problema Resolución del problema Estado 2 Acciones: 1 Fuerzas másicas: Se desprecia el peso propio. El rozamiento cilindro-suelos es nulo. = H1 H3 H2 Las hipótesis del problema son: Se desprecia el peso propio. El rozamiento cilindro-suelos es nulo. = H1 H3 H2 Las hipótesis del problema son: b=0, las fuerzas másicas son nulas 2 Tracciones prescritas en el contorno: Aplicadas de forma radial en el contorno lateral. Aplicadas en la cara superior. Aplicadas en la base inferior. 3 Desplazamiento vertical: P Aplicado en la base inferior, para z=0. 4 Variación de la temperatura nula.  = 0

Estado 3 Resolución del problema  1 Fuerzas másicas: 2 Tracciones prescritas en el contorno: Aplicadas de forma radial en el contorno lateral. Aplicadas en la cara superior. Aplicadas en la base inferior. 3 Desplazamiento vertical: Aplicado en la base inferior, para z=0.  4 Incremento de temperatura uniforme: 

Estado I = Estado II + Estado III Resolución del problema Así queda: Estado I = Estado II + Estado III Estado I  b P Acción Respuesta Estado II P b Acción Respuesta Estado III  Acción Respuesta

Campo de deformaciones: Resolución del problema Resolución del Estado 3 Este estado se define con las condiciones mínimas que garanticen que, al aplicar el , se pueda deformar libremente, sin generar tensiones. Por lo tanto conocemos que el Campo de Tensiones es nulo. x z y êr ê êZ   Campo de tensiones: Obtenemos ahora el Campo de deformaciones a partir de la Ecuación Constitutiva para material termoelástico lineal y sabiendo que el campo de tensiones es nulo. Campo de deformaciones:

Resolución del problema Calculamos a continuación el Campo de Desplazamientos: Hipótesis sobre el campo desplazamientos: x z y êr ê êZ   1 Simetría cilíndrica. 2 Cargas uniformes.

Campo de desplazamientos: Resolución del problema Calculamos los desplazamientos integrando el campo de deformaciones. Campo de desplazamientos:

Campo de desplazamientos: Resolución del problema Aplicando la condición de contorno establecida, obtenemos el valor de la constante de integración. Así queda: Campo de desplazamientos:

Campo de desplazamientos: Resolución del problema Resolución del ESTADO II: De forma análoga a la 1ª analogía y bajo las mismas hipótesis, obtenemos el Campo de Desplazamientos resolviendo las Ecuaciones de Navier. Campo de desplazamientos:

Campo de deformaciones: Resolución del problema Integrando obtenemos el Campo de Deformaciones: Campo de deformaciones: Así el Tensor de Deformaciones en función de las constantes de integración es: Tensor de deformaciones:

Tensor de tensiones: Resolución del problema El Campo de Tensiones, como en la 1ª analogía, se obtiene a partir de la Ecuación Constitutiva para material elástico lineal: Tensor de tensiones:

Condiciones de contorno: Resolución del problema Obtenemos ahora el valor de las constantes de integración imponiendo las condiciones de contorno. Z=0 x z y êr ê êZ   Condiciones de contorno: 1 Existe simetría de revolución: 2 Desplazamiento vertical nulo en la base:

Resolución del problema 3 Tracciones prescritas en el contorno: x z y êr ê êZ  Z=0  3.1 Aplicadas en el contorno lateral. 3.2 Aplicadas en la cara superior.

Resolución del problema Tenemos:

Campo de desplazamientos: Resolución del problema De esta manera obtenemos la solución del Estado 2: Campo de desplazamientos: Campo de deformaciones:

Tensor de tensiones: Resolución del problema Obs.: Nótese que el tensor de tensiones es uniforme, igual en todos los puntos. Por lo tanto, los valores que toman las componentes del tensor en los contornos en los que se aplican las tracciones prescritas, son iguales en todos los puntos del cilindro.

Campo de desplazamientos: Resolución del problema Resolución del ESTADO I: Obtendremos la solución como suma del Estado II y III. Campo de desplazamientos:

Campo de deformaciones: Resolución del problema Campo de deformaciones: Campo de tensiones:

Resolución del problema 2) Se pide obtener el correspondiente valor de  para que, aplicando una p*>0, los puntos de la cara superior del cilindro no tengan desplazamiento vertical. Imponemos entonces que, dado p* el desplazamiento vertical en z=h sea nulo y aislando obtenemos el :  x z y êr ê êZ  Z=0

Desplazamiento vertical nulo Resolución del problema 3) Se pide que, dadas las condiciones del Apartado 2, se determine el valor de p* para el cual el cilindro empieza a plastificar de acuerdo con los criterios de Tresca, Von-Mises y Mohr-Coulomb, indicando cual de dichos criterios está más del lado de la seguridad. Desplazamiento vertical nulo  P* Inicio Plasticidad

Criterio de Tresca: Resolución del problema Resolución del problema En nuestro caso: El material empieza a plastificar cuando:

Criterio de Von-Mises: Resolución del problema Criterio de Von-Mises: En nuestro caso: El material empieza a plastificar cuando:

Criterio de Mohr-Coulomb: Resolución del problema Criterio de Mohr-Coulomb: En nuestro caso: El material empieza a plastificar cuando:

Resolución del problema Estudiemos ahora qué criterio está más del lado de la seguridad: El criterio que estará más del lado de la seguridad será aquel que determine el inicio de la plastificación para el menor valor de la presión. Para El Criterio de Tresca y de Von-Mises están más del lado de la seguridad. Para El Criterio de Mohr-Coulomb está más del lado de la seguridad.