TRIÁNGULOS

TRIÁNGULOS CONTENIDO DE LA PRESENTACIÓN. Triángulo Elementos Ángulos del triángulo Construcción de triángulos Puntos y rectas notables del triángulo Mediatrices. Circuncentro Bisectrices. Incentro. Medianas. Baricentro. Alturas. Ortocentro. Triángulos rectángulos: Teorema de Pitágoras

TRIÁNGULO. Llamamos triángulo a un conjunto de tres puntos no alineados. A estos puntos se les llama vértices del triángulo. Si unimos cada uno de los tres vértices mediante segmentos, a estos segmentos se le llama lados del triángulo. Un triángulo se llama equilátero si tiene los tres lados iguales. Un triángulo se llama isósceles si tiene dos lados iguales Un triángulo se llama escaleno si tiene los tres lados desiguales. Además en cada vértice del triángulo se forma un ángulo. A estos ángulos se les llama ángulos del triángulo Un triángulo con los tres ángulos agudos se llama acutángulo. Un triángulo con un ángulo obtuso se llama obtusángulo.

ELEMENTOS. Vértice B Vértice A Vértice C 9,97 cm 5,75 cm 8,81 cm El triángulo que aparece en el dibujo es un triángulo acutángulo. En él puedes observar: Los vértices Los lados y sus medidas Los ángulos y sus medidas Vértice B Vértice A Vértice C 9,97 cm 5,75 cm 8,81 cm Lado a= BC Lado c = AB Lado b= AC Ángulo  Ángulo C 35 ° 61,46 ° 83,54 ° Ángulo B

ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO. La suma de ángulos de un triángulo es igual a 180º Luego la suma de ángulos de cualquier triángulo es igual a dos rectos

CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO. A continuación veremos cuándo es posible construir un triángulo dados tres datos de él, es decir: Dados tres lados. Dados dos lados y un ángulo. Dados un lado y dos ángulos.

 DADOS TRES LADOS. a b c a c b La condición para poder construir un triángulo a partir de tres segmentos, es: La suma de dos segmentos cualesquiera es mayor que el tercero. Esto supone tres condiciones, que se pueden resumir: La suma de dos lados es mayor que el tercero, y este menor que la diferencia: a+c > b > a-c a Ejemplo: Construcción paso a paso: b 1. Coloco uno de los segmentos como base del triángulo c 2. Con centro en cada uno de los extremos del segmento dibujo dos arcos: a c Uno con radio a Otro con radio c b 3. Se unen los extremos del segmento que he tomado como base, con el punto de corte de los arcos y ya se tiene construido el triángulo.

DADOS DOS LADOS Y UN ÁNGULO. CASO 1 (SIEMPRE ES POSIBLE): Conocemos dos lados y el ángulo comprendido por ellos Ejemplo: Construcción paso a paso: 1. Colocamos como base a uno de los lados a b 2. Con el transportador de ángulos situado en uno de los extremos de la base, medimos el ángulo. En nuestro caso 30º. Ángulo comprendido = 30º 3. Con esa inclinación trazamos una recta. b 4. Sobre la recta medimos el otro lado. 30º 5. Unimos los extremos libres de los dos lados. a

DADOS DOS LADOS Y UN ÁNGULO. CASO 2 (POSIBLE EN ALGUNOS CASOS): Conocemos dos lados y el ángulo adyacente a uno de ellos Ejemplo: Construcción paso a paso: a 1. Colocamos como base al lado a 2. Con el transportador de ángulos situado en uno de los extremos de la base, medimos el ángulo. En nuestro caso 30º. b Ángulo adyacente a a = 30º b 3. Con esa inclinación trazamos una recta. 4. En el otro extremo del lado trazo un arco con radio b. b 30º 5. El punto de corte de la recta con el arco, si es que este existe, da el tercer vértice del triángulo. a COMO PUEDES OBSERVAR EN ESTE CASO EXISTEN DOS SOLUCIONES

 DADOS UN LADO Y DOS ÁNGULOS. Para poder construir el triángulo, la suma de los dos ángulos dados debe de ser menor de 180º Construcción paso a paso: 1. Colocamos como base al lado 2. Con el transportador de ángulos situado en uno de los extremos de la base, medimos uno de los ángulos y trazamos una recta con esa inclinación. 3. Hacemos lo mismo con el otro ángulo en el otro extremo. 4. El punto de corte de esas rectas es el tercer vértice. Ejemplo: a Ángulos adyacentes 40º y 70º 70º 40º a

 Puntos y rectas notables del triángulo Estudiaremos la construcción y las propiedades de los siguientes puntos y rectas notables de un triángulo: Mediatrices. Circuncentro Bisectrices. Incentro. Medianas. Baricentro. Alturas. Ortocentro

 Mediatrices. Mediatriz de un segmento: Es la recta  perpendicular al segmento que pasa por el punto medio de dicho segmento Los puntos de la mediatriz equidistan de los extremos del segmento. Construcción de la mediatriz: Con radio un poco mayor que la mitad del segmento trazo dos arcos, cada uno con centro en cado uno del los extremos del segmento.

 Mediatrices de un triángulo. Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que equidista de los tres vértices del triángulo. A b c P B C a El punto P es el punto de intersección de las tres mediatrices y equidista de los tres vértices

 Circuncentro de un triángulo. Al punto donde se cortan la mediatrices le llamaremos circuncentro del triángulo. Como P equidista de los vértices del triángulo, P es el centro de la circunferencia que pasa por tres vértices, y se denomina CIRCUNCENTRO. A b c P B C a A la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo se le llama circunferencia circunscrita.

 Bisectriz de un ángulo. Bisectriz de un ángulo es la recta  que, pasando por el vértice, divide al ángulo en dos partes iguales Los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo.

 Bisectrices de un triángulo. Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto. C P B A

 Incentro. Al punto donde se cortan la bisectrices le llamaremos incentro del triángulo. Veamos que la razón es muy sencilla. C P A B A la circunferencia que es tangente a los lados del triángulo se le llama circunferencia inscrita.

 Medianas. Baricentro. A c b G a C B Llamamos mediana a la recta  que une el punto medio del lado con el vértice opuesto. Las medianas de un triángulo se cortan en un punto G denominado BARICENTRO que dista del vértice el doble que del lado. A c b G B a C

 Alturas. Ortocentro. hb C ha B’ b A’ a A c B hc C’ Altura sobre un lado. Es la recta  perpendicular al lado que pasa por el vértice opuesto. Las alturas del triángulo se cortan en un punto llamado ORTOCENTRO. Ejemplo: Dado el triángulo ABC, observamos empíricamente que las alturas coinciden en un punto hb Construimos ahora el triángulo asociado trazando paralelas a cada lado por el vértice opuesto. C ha B’ b A’ a A c B Como se puede observar el punto obtenido anteriormente es el circuncentro del triángulo A’B’C’. hc C’

 El Teorema de Pitágoras. En cualquier triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. c a b

 El recíproco del Teorema de Pitágoras. Dado un triángulo cuyos lados a, b y c cumplen que Entonces, el triángulo es rectángulo en el vértice C. B b a c a A c C b

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