PROPIEDADES DE LAS REDES DE PETRI Mariela Muñoz Añasco

La fortaleza del modelado de las RDP radica en sus propiedades, que se dividen en dos grandes áreas, las dependientes del marcado inicial llamadas propiedades dinámicas o del comportamiento y las propiedades independientes del marcado, llamadas estructurales o estáticas.

Métodos de Propiedades Dinámicas. Los métodos de análisis de las propiedades dinámicas son tres: 1. El árbol de cobertura. 2. Matriz de incidencia y ecuación de estado. 3. Reglas de reducción.

Métodos de Propiedades Dinámicas. Árbol de Cobertura Dada la Red de Petri (N,M0) con marcado inicial M0, se puede obtener tantos nuevos marcados como transiciones habilitadas disparadas. Este proceso resulta en un árbol de marcados infinito para una PN no acotada. Para redes acotadas, el árbol de cobertura es llamado árbol de Alcanzabilidad.

Métodos de Propiedades Dinámicas. Árbol de Cobertura

Métodos de Propiedades Dinámicas. Matriz de Incidencia Cnxm = Postnxm – Prenxm; m transiciones y n lugares De modo que sus componentes son:   ci,j =bi,j – ai,j donde aij = Pre(pi; tj) que indican el peso del arco ligando el lugar de entrada pi a la transición tj y bij = Post(pi; tj). son los pesos de los arcos de los lugares de entrada pj a la transición ti.

Métodos de Propiedades Dinámicas. Ecuación de estados La ecuación de estados de una RDP es una ecuación matricial que define el estado de la red, dado un marcado inicial y una secuencia de disparos de transiciones habilitadas. Definiendo s como un vector característico cuya dimensión es el número de transiciones de una red, y cuyos elementos indican el número de veces que se dispara la transición correspondiente en esa secuencia.

Métodos de Propiedades Dinámicas. Ejemplo Sea la RDP y Entonces Por lo tanto

Métodos de Propiedades Dinámicas. Ejemplo Se desea hallar el marcaje alcanzado a partir del disparo secuencial de t1 y t2, es decir: s= t1 t2 (Secuencia de disparo) de la siguiente red. p1 p2 p3 p4 p5 t1 t2 t3 t4 t5

Métodos de Propiedades Dinámicas. Reglas de Reducción Fusión de lugares en serie. Fusión de transiciones en serie. Fusión de transiciones paralelas. Fusión de lugares paralelos. Eliminación de auto bucles en lugares. Eliminación de auto bucles en transiciones.

Propiedades dinámicas Alcanzabilidad Cada disparo de una transición habilitada modifica la distribución de los marcados dentro de la red. Una secuencia de disparos generará una secuencia de marcados. Se dice que un marcado Mn es alcanzable desde el macado M0 si y solo si existe una secuencia de disparos que transforme M0 en Mn. La secuencia de disparos se denota por s: s = Mot1M1t2 … tnMn

Propiedades dinámicas Alcanzabilidad: La condición necesaria para alcanzabilidad es: Sea r el rango de la matriz Cnxm y se hace la siguiente partición :

Propiedades dinámicas Se construye la siguiente matriz Se debe cumplir que CTβT = 0 Si Mk es alcanzable desde M0, entonces M = 0 donde M = Mn – M0

Propiedades dinámicas Ejemplo: Dada la siguiente red verificar la alcanzabilidad desde el marcaje inicial hasta Mn = [ 1 1 1 2]T p2 p3 p5 t3 t1 t2 2

Propiedades dinámicas Limitable o Acotada Si el número de marcas de la red en cada lugar no excede un número finito k para cualquier marcado alcanzable desde M0 y existirá dentro de todos los posibles marcados de la red, M(p) ≤ k.

Ejercicios ¿Son redes Acotadas?

Propiedades dinámicas Vivacidad Si no importa cual marcado haya sido alcanzado, siempre será posible una nueva secuencia s de disparos y alcanzar un nuevo marcado. Libre de bloqueos.

Propiedades dinámicas Grados de Vivacidad Nivel 0: SI nunca se dispara. Nivel 1: Si es potencialmente disparable. Nivel 2: Sí existe una secuencia de disparo en la que tj ocurre un número finito de veces. Nivel 3: SI existe una secuencia de disparo infinita en la que tj ocurre un infinito de veces. Nivel 4: SI es potencialmente disparable para cada vector de marcado.

Ejercicios ¿Son redes Vivas? ¿En qué nivel?

Ejercicios Vivacidad La siguiente res es viva?. Proceso 1 Proceso 2 p2

Propiedades dinámicas Reversibilidad y estado inicial Sea una Red de Petri (N,M0) se dice que es reversible si para cada marcado Mn existente dentro de R(N,M0), M0 es alcanzable desde Mn. R, conjunto de todas las secuencias de marcado desde M0.

Ejercicios ¿Es Reversible?

Propiedades dinámicas Persistencia Si para cualquiera de dos transiciones habilitadas, el disparo de una transición no deshabilitara a la otra transición.

Propiedades Estáticas. Las propiedades estáticas que se plantean a continuación solo aplican a RDP ordinarias y puras. Vivacidad Estructural: Una Red de Petri es estructuralmente viva si tiene un marcado inicial para N.

Propiedades Estáticas. Controlabilidad De una RDP, se dice que es completamente controlable si cualquier marcado es alcanzable desde cualquier otro marcado. Limitación o acotado estructural Una RDP es limitada estructuralmente si es limitada para cualquier conjunto finito de marcados iniciales M0.

Propiedades Estáticas. Repetibilidad Una RDP es repetible si existe un marcado M0 y una secuencia de disparos s desde M0, tal que las transiciones se disparan infinitamente en la secuencia definida por s. Consistencia Una RDP es consistente si existe un marcado M0 y una secuencia de disparos reversible s desde M0 hacia M0, tal que cada transición haya sido disparada al menos una vez en s.