Estadística Administrativa II 2014-3 Prueba de hipótesis de 2 muestras independientes 𝜎 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎

Estadístico z Muestras aleatorias de 2 poblaciones distintas Las poblaciones se distribuyen normalmente Se conocen las medias poblacionales Se conocen las desviaciones estándar poblacionales Poblaciones independientes

Ejemplo . . . ¿Existe diferencia entre el valor medio de los bienes raíces residenciales que vendieron los hombres y los que vendieron las mujeres en la región? ¿Existe diferencia entre el número de ausencias de los trabajadores jóvenes y los trabajadores mayores? ¿Existe diferencia entre la proporción de estudios de Maestría de la universidad de Ohio y la universidad de Cincinnati? ¿Existe diferencia entre la proporción de consumidores que usan jabón en barra y los que usan detergente?

Prueba de hipótesis Establecer la hipótesis nula y la alternativa Seleccionar el nivel de significancia Determinar el estadístico de prueba Formular la regla de decisión Tomar la decisión respecto a H0.

Prueba de hipótesis de 2 muestras independientes Variables continuas

Estadístico prueba 𝑧= 𝑋 1 − 𝑋 2 𝜎 1 2 𝑛 1 + 𝜎 2 2 𝑛 2 𝑧= 𝑋 1 − 𝑋 2 𝜎 1 2 𝑛 1 + 𝜎 2 2 𝑛 2 𝑋 1 :𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1 𝑋 2 :𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 𝜎 1 2 :𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1 𝜎 2 2 :𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 𝑛 1 :𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 1 𝑛 2 :𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 2 𝑧 :𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎

Ejemplo 1 . . . En una población distribuida normalmente con desviación estándar de 5 se tomó una muestra de 40 observaciones que dio como resultado media de 102. En otra población distribuida normalmente con desviación estándar de 6 se tomó una muestra de 50 observaciones que dio como resultado una media de 99. Realizar una prueba de hipótesis con nivel de significancia de 0.04. Se supone que ambas medias poblacionales son iguales.

. . . Ejemplo 1 Datos 𝜎 1 =5 𝑛 1 =40 𝑋 1 =102 𝜎 2 =6 𝑛 2 =50 𝑋 2 =99 𝑋 1 =102 𝜎 2 =6 𝑛 2 =50 𝑋 2 =99 Hipótesis H0 : 𝜇 1 = 𝜇 2 Ha : 𝜇 1 ≠ 𝜇 2 Nivel de significancia 𝛼=0.04 Estadístico de prueba 𝑧= 𝑋 1 − 𝑋 2 𝜎 1 2 𝑛 1 + 𝜎 2 2 𝑛 2

. . . Ejemplo 1 Regla de decisión 𝑧=±2.59 2 colas 𝛼=0.04 Área = 0.4800 + 0.4800 5. Tomar la decisión 𝑧= 𝑋 1 − 𝑋 2 𝜎 1 2 𝑛 1 + 𝜎 2 2 𝑛 2 = 102 −99 (5) 2 40 + (6) 2 50 = 3 1.3 = 3 1.1597 =2.59

. . . Ejemplo 1 5. Tomar la decisión 𝑧=±2.59 P(z > 2.59) = 0.5 – 0.4952 = 0.0042 𝑝=2 0.0042 =0.0084 0.0084<0.05 ≡ 𝑝<𝛼 La hipótesis nula no se acepta

Ejemplo 2 . . . En un supermercado se cuenta con caja tradicional en donde una cajera atiende al visitante y una caja en donde el cliente se hace su propia factura y paga en el POS personal sin la atención de un agente. El gerente de la tienda desea saber si el tiempo medio de pago con el método tradicional es mayor que con la atención personal. Se ha detectado que la desviación estándar de la atención tradicional es de 0.40 minutos y el de la atención personal es de 0.30 minutos con un nivel de significancia de 0.01 Se tomaron dos muestras y se obtuvieron los siguientes resultados.

. . . Ejemplo 2 Se tomaron dos muestras con los siguientes resultados. Tipo de cliente Media 𝑿 Desviación estándar 𝝈 Tamaño de la muestra 𝒏 Tradicional 5.5 min 0.40 min 50 Personal 5.3 min 0.30 min 100 Hipótesis H0 : 𝜇 𝑡 ≤ 𝜇 𝑝 Ha : 𝜇 𝑡 > 𝜇 𝑝 Nivel de significancia 𝛼=0.01 Estadístico de prueba 𝑧= 𝑋 𝑡 − 𝑋 𝑝 𝜎 𝑡 2 𝑛 𝑡 + 𝜎 𝑝 2 𝑛 𝑝

. . . Ejemplo 2 Regla de decisión 1 cola 𝛼=0.01 5. Tomar la decisión Tipo de cliente Media 𝑿 Desviación estándar 𝝈 Tamaño de la muestra 𝒏 Tradicional 5.5 min 0.40 min 50 Personal 5.3 min 0.30 min 100 Regla de decisión 1 cola 𝛼=0.01 Área = 0.5000 + 0.4900 5. Tomar la decisión 𝑧= 𝑋 𝑡 − 𝑋 𝑝 𝜎 𝑡 2 𝑛 𝑡 + 𝜎 𝑝 2 𝑛 𝑝 = 5.5 −5.3 (0.4) 2 50 + (0.3) 2 100 = 0.2 0.0041 = 0.2 0.064 =3.13

. . . Ejemplo 2 5. Tomar la decisión 𝑧=3.13 0.001<0.01 ≡ 𝑝< 𝛼 Tipo de cliente Media 𝑿 Desviación estándar 𝝈 Tamaño de la muestra 𝒏 Tradicional 5.5 min 0.40 min 50 Personal 5.3 min 0.30 min 100 5. Tomar la decisión P( z > 3.13) = 0.5 – 0.4990 = 0.001 𝑧=3.13 0.001<0.01 ≡ 𝑝< 𝛼 La hipótesis nula no se acepta

Prueba de hipótesis de 2 muestras independientes Variables nominales

𝑝 𝑐 = 𝑥 1 + 𝑥 2 𝑛 1 + 𝑛 2 Características Dos poblaciones iguales Dos proporciones Una proporción conjunta 𝑝 𝑐 = 𝑥 1 + 𝑥 2 𝑛 1 + 𝑛 2

Ejemplos Personal de Recursos Humanos desea saber si hay alguna diferencia entre la proporción de empleados salariados por hora que faltan más de 5 días de trabajo por año en las plantas de Atlante y Houston. General Motors considera un diseño nuevo para el Chevy Malibú. El diseño se muestra a un grupo de compradores potenciales menores de 30 años de edad y a otro grupo de mayores de 60 años. La compañía quiere saber si hay alguna diferencia entre la proporción de los dos grupos a quienes les gusta el nuevo diseño.

Estadístico prueba 𝑧= 𝑝 1 − 𝑝 2 𝑝 𝐶 (1− 𝑝 𝐶 ) 𝑛 1 + 𝑝 𝑐 (1− 𝑝 𝑐 ) 𝑛 2 𝑧= 𝑝 1 − 𝑝 2 𝑝 𝐶 (1− 𝑝 𝐶 ) 𝑛 1 + 𝑝 𝑐 (1− 𝑝 𝑐 ) 𝑛 2 𝑝 1 :𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1 𝑝 2 :𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 𝑝 𝑐 :𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑎 𝑛 1 :𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 1 𝑛 2 :𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 2 𝑧 :𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎

Ejemplo 1 . . . Una muestra de 100 observaciones indicó que 70 contestaron que sí; en otra muestra, de 150 observaciones, 90 resultados contestaron igual. Se supone que ambas poblaciones son iguales; se hará la prueba de la hipótesis con un nivel de significancia de 0.05. 𝑛 1 =100 𝑝 1 = 70 100 =0.7 𝑛 2 =150 𝑝 2 = 90 150 =0.6 Hipótesis 𝐻 0 : 𝜋 1 = 𝜋 2 𝐻 𝑎 : 𝜋 1 ≠ 𝜋 2 Nivel de significancia 𝛼=0.05

. . . Ejemplo 1 Estadístico de prueba 𝑧= 𝑝 1 − 𝑝 2 𝑝 𝑐 (1− 𝑝 𝑐 ) 𝑛 1 + 𝑝 𝑐 (1− 𝑝 𝑐 ) 𝑛 2 Regla de decisión 2 𝑐𝑜𝑙𝑎𝑠 𝛼=0.05≡𝑁𝐶=0.95 Á𝑟𝑒𝑎=0.4750+0.4750 𝑧=±1.96

. . . Ejemplo 1 𝑧=±1.96 Tomar la muestra y la decisión 𝑝 1 = 70 100 =0.7 𝑝 2 = 90 150 =0.6 𝑝 𝑐 = 70+90 100+150 = 160 250 =0.64 𝑧= 0.7−0.6 0.64 (0.36) 100 + 0.64 (0.36) 150 = 0.1 0.2304 100 + 0.2304 150 = 0.1 0.062 𝑧=1.61 **La hipótesis nula no se rechaza

. . . Ejemplo 1 Tomar la muestra y la decisión 𝑧=1.61 P(z > 1.61) = 0.5 – 0.4463 = 0.0537 0.0537 > 0.05 => p > 𝛼 La hipótesis nula no se rechaza

Ejemplo 2 . . . La empresa Manelli planea comercializar el perfume Heavenly. Hay dos poblaciones independientes, jóvenes y mayores; a cada miembro de la muestra se le pedirá que huela el perfume e indique si le gusta y si lo compraría. La muestra de mujeres jóvenes formada por 100, de las cuales 19 contestaron que sí les gustó el perfume y la muestra de mujeres mayores, formada por 200 mujeres, 62 respondieron que sí les gustó. Probar la hipótesis con una significancia de 0.05. 𝑛 𝑗 =100 𝑋 𝑗 =19 𝑛 𝑚 =200 𝑋 𝑚 =62

. . . Ejemplo 2 𝐻 0 : 𝜋 𝑗 = 𝜋 𝑚 𝐻 𝑎 : 𝜋 𝑗 ≠ 𝜋 𝑚 Hipótesis Nivel de significancia 𝛼=0.05 Estadístico de prueba 𝑧= 𝑝 𝑗 − 𝑝 𝑚 𝑝 𝑐 (1− 𝑝 𝑐 ) 𝑛 𝑗 + 𝑝 𝑐 (1− 𝑝 𝑐 ) 𝑛 𝑚

. . . Ejemplo 2 Regla de decisión 𝑧=±1.96 2 colas 𝛼=0.05 ≡𝑁𝐶=0.9500 Tomar los datos de la muestra y tomar una decisión 𝑧=±1.96 2 colas 𝛼=0.05 ≡𝑁𝐶=0.9500 Área = 0.4750 + 0.4750 𝑛 𝑗 =100 𝑋 𝑗 =19 𝑝 𝑗 =0.19 𝑛 𝑚 =200 𝑋 𝑚 =62 𝑝 𝑚 =0.31 𝑝 𝑐 = 19+62 100+200 = 81 300 =0.27

La hipótesis nula no se acepta . . . Ejemplo 2 𝑧= 0.19−0.31 0.27(1−0.27) 100 + 0.27(1−0.27) 200 = −0.12 0.1971 100 + 0.1971 200 =−2.21 𝑧=±1.96 P z<−2.21 =0.5−0.4864=0.0136 0.0136<0.05 ≡ p<α − 2.21 La hipótesis nula no se acepta

Fin de la presentación Muchas gracias Lind, D.A., Marchal, W.G., Wathen, S.A. (15). (2012). Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. México: McGrawHill