Programación Lineal Entera Antonio H. Escobar Z Universidad Tecnológica de Pereira – Colombia Posgrado en Ingeniería – Maestría/Doctorado

Branch and Bound

Variable seleccionada para ramificar. ( Branching )

? ?

P0P0 Limitante inferior

Ejemplo: Al resolver el PL correspondiente de un PLE se obtiene la siguiente solución: Resolver usando los siguientes criterios: 1. Seleccionar la primera variable entera en el orden natural, con solución fraccionaria en el PL actual. 2. Explorar el árbol Branch and Bound usando la regla LIFO (último en generarse, primero en resolverse):

1. Seleccionar la primera variable entera en el orden natural, con solución fraccionaria en el PL actual. Se ramifica

Se selecciona la primera variable con solución fraccionaria para ramificar: x 1 y se resuelve el subproblema construido con la condición: x 1 ≥ [ x 1 * ] + 1 Pruebas de sondaje para el nodo 2: a. Existe una limitante inferior entera para comparar? No. No sonda. b. La solución del nodo 2 es entera? No. No sonda. c. La solución primal es vacía o la dual infactible? No. No sonda. Se ramifica Se resuelve

No sondado, movimiento en profundidad.

Se resuelve Se ramifica Pruebas de sondaje para el nodo 4: a. Existe una limitante inferior entera para comparar? No. No sonda. b. La solución del nodo 4 es entera? Si. Se sonda la solución y se almacena como incumbente (mejor solución entera encontrada). incumbente

S

Sondado, movimiento hacia atrás.

Pruebas de sondaje para el nodo 3: a.Existe una limitante inferior entera para comparar? Si. La solución relajada del nodo 3 es de peor calidad que la incumbente? Esto es, 5.71 es mayor o igual a 7? No. No sonda. incumbente

Se ramifica

No sondado, movimiento en profundidad.

Pruebas de sondaje para el nodo 6: b. La solución es entera? Si. La solución entera del nodo 6 es de peor calidad que la incumbente? Si. Sonda y no altera la incumbente. incumbente

Sondado, movimiento hacia atrás.

Pruebas de sondaje para el nodo 5: b. La solución es entera? Si. La solución entera del nodo 5 es de peor calidad que la incumbente? Si. Sonda y no altera la incumbente.

incumbente

Sondado, movimiento hacia atrás.

Pruebas de sondaje para el nodo 1: a. La solución relajada es de peor calidad que la incumbente? No. No sonda. Existe la posibilidad de hallar una mejor solución entera. incumbente

Se ramifica incumbente

Pruebas de sondaje para el nodo 8: b. La solución es entera? Si. Sonda. Es de mejor calidad que la Incumbente? Si. Reemplaza la incumbente. incumbente

Pruebas de sondaje para el nodo 7: a. La solución relajada es de peor calidad que la incumbente? Si. Sonda. incumbente

El proceso finaliza. No existen más nodos pendientes por evaluar. Solución del PLE = incumbente Incumbente → solución del nodo 8 incumbente

El problema de PLE se resuelve después de evaluar 9 nodos

Evolución del árbol Branch and Bound usando la regla LIFO

Ejemplo: Al resolver el PL correspondiente de un PLE se obtiene la siguiente solución: Resolver usando los siguientes criterios: 1. Seleccionar la primera variable entera en el orden natural, con solución fraccionaria en el PL actual. 2. Explorar el árbol Branch and Bound resolviendo primero el PL con mejor solución.

Se resuelven los PL correspondientes de los nodos 1 y 2. Se selecciona el nodo con mejor solución. Se ramifica

Nodo con mejor solución: nodo 1. nodo seleccionado

Se ramifica Se resuelven los PL correspondientes de los nodos 3 y 4. Se selecciona el nodo con mejor solución.

Nodo con mejor solución: nodo 4. nodo seleccionado

Como el nodo 4 tiene solución entera y es de mejor calidad que las soluciones relajadas de los nodos 2 y 3, entonces se sondan los nodos 2 y 3. S S

El problema de PLE se resuelve después de evaluar 5 nodos

Evolución de pseudocostos para la regla LIFO:

Selección del próximo Problema que se debe Resolver No existe una técnica sistemática para identificar el PL que debe resolverse y que produce el menor árbol Branch and Bound. Existen reglas empíricas que permiten identificar caminos atractivos: 1.Regla LIFO ( Last Input, First Output ): produce una búsqueda en profundidad y permite resolver el problema descendiente de forma eficiente (por ejemplo, usando dual simplex canalizado). Minimiza el uso de memoria para almacenar información de problemas no sondados. En el ejemplo requiere resolver 9 problemas de PL y el número máximo de problemas almacenados es de 3.

2. Usar valores de Pseudocostos seleccionando primero el problema que menor degradación produce en la función objetivo (menor pseudocosto). Este procedimiento produce y resuelve un menor número de problemas de PL pero requiere de más memoria para almacenar problemas no sondados, ya que dos problemas consecutivos no tienen un grado de semejanza similar al de la regla LIFO. 3. Calcular Pseudocostos únicamente la primera vez que la variable asume un valor fraccionario, recalcularlos con cierta frecuencia y almacenar sus valores medios. Para un nodo k estimar el mejor valor que puede encontrarse entre sus PLs descendientes, sin resolverlos. Se asume independencia entre variables enteras y pseudocostos estables. Una forma de estimar la mejor solución descendiente de un nodo k es: Donde: es el mejor valor esperado de un descendiente del nodo k es la función objetivo del PL relajado resuelto en el nodo k es el subconjunto de variables enteras del problema de PLE

Ejemplo: Resolver el PLE, Estimando el mejor valor que puede asumir un PL descendiente de los nodos usando los pseudocostos de la tabla. Descendientes del nodo 1

Comparación con lo real:

Descendientes del nodo 2

Comparación con lo real:

Valor que puede asumir los mejores descendientes de los nodos 1 y 2: Se selecciona el nodo 1

Se resuelven 3 y 4:

Solución entera e incumbente

S S Solución del PLE

Problemas del uso del método de valor estimado : Se requiere resolver todos los problemas de PL antes de almacenarlos. Se requiere almacenar las informaciones relevantes de los PLs: solución, base óptima, etc, en consecuencia, se requiere de buena capacidad de memoria por la cantidad de información involucrada. Existen muchos problemas resueltos y almacenados pero no sondados. Esto quiere decir que la información de muchos problemas no será aprovechada porque pueden ser sondados con información de valores estimados de mejor calidad. Existen otras propuestas de cálculo de valor estimado pero la calidad de los valores estimados encontrados resulta de menor calidad que la propuesta presentada anteriormente.

Que variable seleccionar cuando un PL tiene solución fraccionaria? Una selección inadecuada puede demorar el sondaje de problemas descendientes, aumentando el número de PLs que deben resolverse. No existe una forma robusta para identificar la mejor variable y realizar la separación. Existen sin embargo algunas reglas heurísticas para identificar variables atractivas. Algunas propuestas heurísticas son: 1.Ordenar las variables usando sus coeficientes en la función objetivo y usar este orden como prioridad. 2.Ordenar las variables de acuerdo a su significado físico y al nivel de importancia de ellas en el problema de optimización. 3. Seleccionar la variable según el orden natural con que aparecen en el problema.

4. Una alternativa más elaborada consiste en identificar, entre las variables enteras con solución fraccionaria, la variable que proporcionaría el mejor valor estimado de la función objetivo con el propósito de sondar más fácilmente los problemas descendientes. Existen dos propuestas para esta alternativa.

Nodo seleccionado