MT-21 Clase Funciones

Resumen de la clase anterior Inecuación lineal de primer grado Propiedades Planteo Solución desigualdad Solución gráfica Solución intervalo Sistemas de inecuaciones de primer grado

Aprendizajes esperados • Definir relación y función estableciendo las diferencias entre un concepto y otro. Determinar si una relación es función. • Representar información cuantitativa a través de gráficos y esquemas. • Determinar dominio y recorrido de una función. • Nociones de gráfica de una función en el plano cartesiano. • Evaluar una función.

Pregunta oficial PSU 26. Si f(x) = 5x, entonces 5∙f(5x) es igual a A) 125x B) 25x C) 125x2 D) 25x2 E) ninguna de las expresiones anteriores. Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2008.

1. Relaciones 2. Funciones

1. Relaciones 1.1. Definición Una relación R de un conjunto A a un conjunto B (R: A B), es un subconjunto del producto cartesiano entre A y B determinado por una o más condiciones. Ejemplo: Si A = {2, 3, 7} y B = {4, 5, 6} y R una relación de A en B tal que: R = { (a, b)  A x B / b es múltiplo de a} , entonces: A x B es el producto cartesiano entre los dos conjuntos, es decir, todos los pares ordenados que se puedan formar, tomando un elemento de A y un elemento de B, en ese orden. A x B = {(2, 4); (2, 5); (2, 6); (3, 4); (3, 5); (3, 6); (7, 4); (7, 5); (7, 6)} R = {(2,4); (2,6); (3,6)}  A x B

1. Relaciones 1.1. Definición Utilizaremos el ejemplo anterior para explicar algunos conceptos. R = {(2, 4); (2, 6); (3, 6)}  A x B R A B 2 3 7 4 5 6 Conj. de partida Conj. de llegada (Codominio) Pre-imágenes {2, 3} Imágenes {4, 6} De acuerdo al diagrama, se puede afirmar que: 2 es pre-imagen de 4 y de 6 , y 4 es imagen de 2

1. Relaciones 1.2. Dominio y recorrido Dominio: Es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de partida que son pre-imagen de algún elemento del conjunto de llegada. Recorrido: Es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de llegada que son imagen de algún elemento del conjunto de partida. Ejemplo: Si A = {2, 3, 7} y B = {4, 5, 6} y R una relación de A en B tal que: R = {(2,4); (2,6); (3,6)} , entonces: Dom(R) = {2, 3} Rec(R) = {4, 6}

2. Funciones 2.1. Definición Una “función f” es una relación, tal que todo elemento del conjunto de partida tiene imagen, y esta es única. Dom f = A Cada pre-imagen tiene una única imagen. Ejemplos: 1. Determine si la siguiente relación R es función: R A B a b c d e f R (c) = e R (c) = f La relación R NO es función, porque c tiene dos imágenes.

2. Funciones 2.1. Definición 2. Determine si la siguiente relación R es función: R A B 3 5 4 6 7 9 R es función, ya que cada elemento del conjunto de partida tiene imagen y esta es única. f A B f (3) = 6 Además: 3 5 4 6 7 9 f (5) = 6 Dominio(f) = A f (4) = 7 Recorrido(f) = {6, 7}

2. Funciones 2.2. Evaluación de funciones Ejemplo 1: Sea f una función, definida en los reales como: f(x) = 2x + 3. f Determinar: IR IR a) f (1) = 2·1 + 3 = 5 1 3 7 12 … x 5 9 17 27 … f(x) b) f (3) = 2·3 + 3 = 9 c) f (7) = 2·7 + 3 = 17 d) f (12) = 2·12 + 3 = 24 + 3 = 27

2. Funciones 2.2. Evaluación de funciones e) Para f(x) = 2x + 3, determinar f (4) – 3·f (0) f (– 1) = 2·4 + 3 – 3(2·0 + 3) 2(– 1) + 3 8 + 3 – 3(3) 1 = = 11 – 9 = 2

2. Funciones 2.3. Dominio y recorrido Representación gráfica de: f(x) = 2x + 3. Cuando x es 1, el valor de y es 5. Luego, f(1) = 5. Es decir, y = f(x) → (x, y) punto en el plano cartesiano f(x) = 2x + 3 es función afín, Dom(f) = IR y Rec(f) = IR

¿Es posible calcular este cuociente siempre? 2. Funciones 2.3. Dominio y recorrido Ejemplo 1: f(x) = 2 x – 1 Sea ¿Es posible calcular este cuociente siempre? Respuesta: Como la división por 0 no está definida, x – 1 debe ser distinto de 0, es decir: x ≠ 1. f IR IR Luego, Dom(f) = IR – {1} 2 3 -1 x 1 2 1 -1 … f(x)

2. Funciones 2.3. Dominio y recorrido Ejemplo 2: Sea f(x) = x + 2 Dom(f) = [– 2, +∞ [ ¿Por qué?

2. Funciones 2.3. Dominio y recorrido x Ejemplo 3: f(x) = x – 3 Como la división por 0 no está definida, x – 3 debe ser distinto de 0, es decir: x ≠ 3. Luego, Dom(f) = IR – {3} Para determinar el recorrido de f(x), se debe despejar x. y = x x – 3 y(x – 3) = x x = 3y y – 1 Luego, Rec(f) = IR – {1} yx – 3y = x yx – x = 3y x(y – 1) = 3y

2. Funciones 2.3. Dominio y recorrido Ejemplo 4: Indicar si los siguientes gráficos corresponden a funciones, determinando el dominio y recorrido de aquellos que representen una función. -1,6 y = 2 Dom(f) = Dom(f) = IR Rec(f) = Rec(f) = {2}

2. Funciones 2.3. Dominio y recorrido x = 3 Dom(f) = IR No es función Rec(f) = ] – ∞ , 4]

A Pregunta oficial PSU 26. Si f(x) = 5x, entonces 5∙f(5x) es igual a A) 125x B) 25x C) 125x2 D) 25x2 E) ninguna de las expresiones anteriores. Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2008. ALTERNATIVA CORRECTA A

Relaciones y funciones Síntesis de la clase Relaciones y funciones Relaciones Dominio Recorrido Funciones Gráfica Evaluación

Equipo Editorial Matemática