DEFINICIONES

“FUNCIONES ANALITICAS” 1.1 Numeros complejos y su algebra. Un numero complejo se compone de la suma de la parte real mas una parte imaginaria. (z= x + iy) y Re {Z}=x (x,y) Im {Z}=y x

a) Polar (Es multievaluada) –Pi a Pi 1.2 Representacion polar Polar o trigonometrica Exponencial z cis z e ^ I Caracteristicas a) Polar (Es multievaluada) –Pi a Pi

Repaso de Geometria Analitica Circunferencia.- Lugar geometrico donde todos los puntos equidistan en un punto fijo centro. Condicion Geometrica Representacion Analitica Centro en el origen x^2 + y^ 2 = p^2 Centro en (h,k) (x-h)^2 + (y-k)^2 = p^2 Ecuacion general x^2 + y^2 +Dx+Ey + F=0 Circunferencia real Si D^2+E^2- 4F > 0 Un punto Si D^2+E^2- 4F = 0 Ningun lugar geometrico Si D^2+E^2- 4F < 0

1.3 Conjuntos en el plano complejo *Conjunto de puntos.- Cualquier coleccion de puntos en el plano complejo. *Punto.- Elemento del conjunto. *Entorno.- Conjunto de puntos situados alrededor de un punto con radio. *Conjunto abierto.- Vecindad cuyos puntos pertenecen todos al conjunto. *Conjunto conexo.- Dos puntos cualquiera del conjunto y que una recta los une. *Dominio.- Conjunto abierto conexo. *Puntos interior, exterior y de frontera.- Interior puntos que pertenencen todos al conjunto. Frontera puntos pertenecientes si y no al conjunto. Exterior cuando no es ni el primero ni el segundo. *Region.- Union de un dominio.

ECUACION LUGAR GEOMETRICO y Re (z) = 1 x=1 x 1 Re (z)<1 x x<1 -3<x<2 -3<Re (z)<2 -3 2 x<=y Re (z)<= Lm (z)

! z != 1 x^2+y^2= 1 ! z !<1 x^2+y^2<1 ! z-2!= 4 !x+yi-2!=4 (x-2^2)+y^2 =4 6 h=2 k=0 &=4

Graficar f(z) en el plano w si F (z)=z+1 b) f (z)= z W=z+1 z4 z3 Plano w Plano z z1 z2 z1=( 1+i)= (1-i) w1=1-i w4 w3 z2=(2+i)= (2-i) w2=2-i z3= (1+2i)= 1-2i z4= (2+2i)= 2-2i Plano w w1 w2 z1= 1+i w1=(1+i)+1=2+i z2= 2+i w2=(2+i)+1=3+i z3=1+2i w3=(1+2i)+1=2+2i z4=2+2i w4=(2+2i)+1=3+2i

c) z1=(1+i)^2= 1+2i-1=2i z2=(2+i)^2 = 4+4i-1=3+4i z3=(2+2i)^2=4+8i-4=8i z4=(1+2i)^2= 1+4i-4= -3+4i

1.4 “Funciones continuas de una variable” Definicion.- Por una funcion definida sobre el plano z se entiende por un una regla que asigna a cada z un unico numero complejo w. W= f(z) Z= variable compleja F(z) o w= funcion compleja “Procesamiento digital de señales = pds” y w= f(z) z mapeo w y=v x=u Re (w)=u w=u +iv Lm (w)=v

1.5 “Condiciones necesarias para la analiticidad” * Definicion en el plano complejo Lim f(z+ z) – f(z) O z 1.6 “Condiciones suficientes de la analiticidad” Definicion de analiticidad.- Se dice que una funcion f(z) es analitica en D si f(z) esta definida y es diferenciable en todos los puntos de D. Teorema de Cauchy-Riemann dado f(z)= u (x,y) + iv (x,y) se dice que la funcion es diferenciable si :

1.7 “Funcion exponencial y potencia compleja” * Funcion exponencial compleja ez = ex+iy = ex (Cos y + i Sen y) donde: ez = Debe reducirse a ex cuando z= x ez Debe se r una funcion entera es decir analiticamente para toda z. (ez) = ez