Trabajo en equipo de Investigación matemática Buscando a ... LA CICLOIDE Trabajo en equipo de Investigación matemática

Problema inicial Esta investigación tiene su origen en un problema que nuestro profesor de Matemáticas nos propuso a un grupo de clase. Decía así: Vamos a hacer un poco de ciencia-ficción. Imagínate una rueda cuadrada y fíjate en uno de los vértices. ¿Qué trayectoria sigue al dar la rueda una vuelta? Si suponemos que el lado del cuadrado mide 1 metro, ¿qué longitud recorre un vértice en una vuelta completa? Puestos a imaginar, podemos pensar lo que pasaría si las ruedas son triángulos equiláteros. Y lo mismo con cualquier otro polígono regular. Buscando a ... la cicloide Mollina 2004

Durante el proceso de resolución: Llegamos a estudiar las trayectorias determinadas por diversos polígonos regulares, como los siguientes: Buscando a ... la cicloide Mollina 2004

¿Y si la rueda fuese redonda? La CICLOIDE: la trayectoria que recorre un punto cualquiera de la circunferencia cuando ésta da un giro completo Fue al final de aquel problema como llegamos a conocer a la protagonista de esta investigación Buscando a ... la cicloide Mollina 2004

Algunas propiedades que hacen famosa a la Cicloide Es la curva braquistócrona (la de descenso más rápido entre dos puntos) Diferentes caminos de A a B Camino más rápido de A a B (sobre la cicloide) La tautocronía (si un punto se desplaza a lo largo de la curva invertida, en caída libre, llegará al punto mínimo de la curva en un tiempo que no depende de la altura de donde partió ) Buscando a ... la cicloide Mollina 2004

Medidas de la cicloide La longitud de la cicloide es 8 veces el radio y el área que deja debajo es el triple de la del círculo que la determina Longitud = 8.R Area = 3..R² Y aquí comenzaría nuestra investigación: éstas son la medidas de la cicloide. En Internet comprobamos que no entendíamos cómo se habían calculado (siempre aparecían integrales y otras fórmulas complicadas). ¿Seríamos capaces de demostrarlas solo con nuestros conocimientos … y los ordenadores? Buscando a ... la cicloide Mollina 2004

Nuestra idea para calcular esas medidas: Aproximarnos desde los polígonos regulares: La circunferencia viene a ser como un polígono regular de 5000 lados: Buscando a ... la cicloide Mollina 2004

1ª Fase: Estudio con polígonos regulares de 3, 4, 6 y hasta 12 lados Proceso … para determinar la LONGITUD de la trayectoria descrita por el vértice de un polígono regular de 5000 lados girando Nuestro plan pasaba por tres fases: 1ª Fase: Estudio con polígonos regulares de 3, 4, 6 y hasta 12 lados Extracto del trabajo en un momento en el que interesaba calcular una diagonal del dodecaedro regular Buscando a ... la cicloide Mollina 2004

Proceso … (LONGITUDES) 2ª Fase: Generalización del problema (polígono de n lados): La trayectoria se compone de n-1 arcos de circunferencia Todos los arcos tienen la misma amplitud (360/n grados) Los radios de los arcos son las sucesivas diagonales del polígono (además del lado) . Los resultados finales se resumían en las siguientes fórmulas: Buscando a ... la cicloide Mollina 2004

Proceso … (LONGITUDES) 3ª Fase: Cálculos con Excel La Hoja de cálculo (junto con las fórmulas a las que llegamos anteriormente) nos permitió calcular rápidamente la longitud de la trayectoria correspondiente a un polígono regular de tantos lados como quisiéramos Buscando a ... la cicloide Mollina 2004

Proceso para determinar el AREA de la trayectoria descrita por el vértice de un polígono regular de 5000 lados girando Para el cálculo del área repetimos las mismas tres fases para un problema distinto: 1ª Fase: Estudio con polígonos regulares de 3, 4, 6 y hasta 12 lados Extracto del trabajo en un momento en el que interesaba calcular el área barrida por el giro de un hexágono regular Buscando a ... la cicloide Mollina 2004

Proceso … (AREAS) 2ª Fase: Generalización del problema (polígono de n lados): El área determinada se descompone en n-1 sectores y n-2 triángulos El área determinada por el rodamiento de de un polígono regular de 12 lados descompuesta en 11 sectores y 10 triángulos . (aplicando la Fórmula de Herón) Buscando a ... la cicloide Mollina 2004

Proceso … (AREAS) 3ª Fase: Cálculos con Excel Buscando a ... la cicloide Mollina 2004

Metodología de trabajo durante la Investigación Trabajo en equipo: Reparto de tareas Reuniones semanales Revisiones de lo redactado Con el ordenador: Textos con Word Fórmulas con su Editor de ecuaciones Gráficos con Cabri Excel Página web con Cabriweb Buscando a ... la cicloide Mollina 2004

Autores Iranzu Ardaiz Marta Martínez Beatriz Navarro Nuria Ortega Pablo Roldán Coordinador: Manuel Sada I.E.S. de Zizur Mayor (Navarra) Buscando a ... la cicloide Mollina 2004