Juan José Cortés Orozco. Antonio Muñoz Torres. Dibujo de Círculos Juan José Cortés Orozco. Antonio Muñoz Torres.

Indice Introducción. Desarrollo Teórico del Dibujo de Círculos. Algoritmo de Bresenham. Conclusiones y Otras Técnicas.

Introducción. El trabajo que se nos encomendó se basa en dibujar un círculo, conociendo el punto origen y el radio(R). Para ello, por simplicidad, en todo el desarrollo se considerará una circunferencia centrada en el origen de coordenadas. Utilizaremos y veremos en las siguientes diapositivas, métodos que nos van a ayudar a obtener el resultado deseado, como la Simetría y el Algoritmo de Bresenham.

Desarrollo Teórico Para obtener todos los puntos de una circunferencia tenemos la siguiente fórmula: Partiendo de aquí, para dibujar ¼ de circunferencia, se incrementa el valor de X en pasos de uno en uno desde 0 hasta R y resolvemos la fórmula sólo para los valores positivos. Los Otros ¾ de circunferencia se pueden dibujar por simetría. Lo veremos a continuación

Desarrollo Teórico (Simetría de la Octava Parte) Si un punto de coordenadas (x,y) pertenece al circulo, podemos obtener de forma trivial otros siete Puntos que se Obtienen por Simetría. Para Hacer esto utilizamos el mismo método anterior, pero solo para valores de X comprendidos entre 0 hasta R/ . Este es el punto donde x=y, el seno y el coseno son iguales y el eje x forma un ángulo de 45 º con el radio dibujado desde el centro hasta el punto (x,y). Para Dibujar el punto obtenido y los siete simétricos se utiliza el siguiente Procedimiento: Circle_Points

Algoritmo de Bresenham Bresenham desarrolló un generador incremental de circunferencias. Este algoritmo genera todos los puntos de un círculo centrado en el origen. En cada paso el algoritmo selecciona el punto Pi(xi,yi), el cuál es el más cercano a la verdadera circunferencia y al mismo tiempo hace que el término de error D(Pi) sea mas cercano a cero. D(Pi)=(xi2+yi2)-R2 La estrategia a seguir es seleccionar el punto más cercano para usar variables de decisión cuyos valores puedan ser incrementalmente calculados sólo con algunas operaciones básicas como sumas, restas o cambios de signo. NOTA: Debemos tener en cuenta que trabajamos con una matriz de puntos que no es continua, y por ello tenemos que aproximar lo más posible los puntos a dibujar, con los puntos de la circunferencia real, obtenidos en la aplicación de la formula.

Algoritmo de Bresenham Asumimos que Pi ha sido seleccionado en el paso anterior como el punto más cercano a la circunferencia real. En el paso actual, debemos determinar si el punto mas cercano es Si o Ti. El término de error para estos puntos será la diferencia de los cuadrados de las distancias al origen del punto y de la circunferencia real. D(Si)=((Xi-1 + 1)2 + Yi-1) - R2 D(Ti)=((Xi-1 + 1)2 + (Yi-1 – 1)2) - R2 Si |D(Si)| >= |D(Ti)| , entonces Ti es más cercano al círculo real que Si y lo tomamos como un punto de la circunferencia. Podemos definir di como un término de error di = |D(Si)| - |D(Ti)|

Algoritmo de Bresenham Vamos a considerar otro termino de error como di = D(Si) + D(Ti) Con este nuevo termino de error y observando la imagen podemos ver que en los casos A y B tanto Si como Ti quedan dentro de la circunferencia real, con lo que el término di es negativo y seleccionaremos el punto Si. En los casos D y E ocurre al contrario. di siempre será positivo con lo que tomaremos el punto Ti El caso más complejo es el caso C. Aquí Si queda fuera del círculo, con lo que su término de error es positivo, mientras Ti queda dentro del círculo y por tanto con un término de error negativo. El punto más cercano al círculo será Ti, si el término de error di es positivo y Si en caso contrario.

Algoritmo de Bresenham Podemos comprobar que la variable de decisión di tal y como la hemos expresado, requiere el cálculo de varias multiplicaciones y cuadrados, y por el contrario dijimos anteriormente que el algoritmo sólo calcula unas algunas operaciones básicas como sumas o restas. A partir de aquí vamos a desarrollar el algoritmo de Bresenham. Mediante una serie de manipulaciones algebraicas llegamos a que en el paso 1, el termino de error es d1=3 – 2 R Demostración.-   P0 = (x0,y0) = (0,R) así S1=(1,R) y T1=(1,(R-1))   D(S1)=(12+R2)-R2=1 D(T1)=(12+(R-1) 2)-R2=1+R2-2R+1-R2=2-2R   d1=D(S1)+D(T1)=1+ 2 + 2R = 3 - 2 R

Algoritmo de Bresenham Como hemos visto, si di es menor que cero elegimos Si como punto a dibujar, y el siguiente término de error será di+1=di + 4 * Xi-1 + 6 di = ((xi-1 + 1) 2 + y i-12) - R2 +((x i-1 + 1) 2 + (y i-1 - 1) 2) - R2   d i+1 = ((x i-1 + 2) 2 + y i-12) - R2 + ((x i-1 + 2) 2 + (y i-1 - 1) 2) - R2 = = (x i-12 + 4 x i-1 + 4 + y i-12 - R2) + (x i-12 + 4 x i-1 + 4 + (y i-1 - 1) 2 - R2)  Como x i-12 + 4 x i-1 + 4 = x i-12 + 2 x i-1 + 1 – 2 x i-1 + 3 = (x i-1 + 1) 2 + 2 x i-1 + 3 Entonces  d i+1 = ((x i-1 + 1) 2 + y i-12 - R2) + 2 x i-1 + 3 + ((x i-1 + 1) 2 + (y i-1-1) 2 - R2)+2x i-1 + 3 = = D(Si) + 2 x i-1 + 3 + D(Ti) + 2 x i-1 + 3 = = di + 4 x i-1 + 6

Algoritmo de Bresenham Si por el contrario di es mayor que cero y elegimos Ti, nos quedará que el término de error es: di+1 = di + 4 * (Xi+1 – Yi-1) + 10 d i+1 = (x i-1 + 2)2 + (y i-1 - 1) 2 - R2 + (x i-1 + 2) 2 + (y i-1 - 2) 2 - R2 = = x i-12 + 4x i-1 + 4 + y i-12 – 2 y i-1 + 1 - R2 + x i-12 + 4 x i-1 + 4 + y i-12 – 4 y i-1 +4 - R2= = (x i-1 + 1) 2 + 2 x i-1 + 3 + y i-12 – 2 y i-1 + 1 - R2 + (x i-1 + 1) 2 + 2 x i-1 + 3 + (y i-1-1) 2 - - 2y i-1 + 3 – R2 = = D(S i) + 2 x i-1 + 3 – 2 y i-1 + 1 + D(T i) + 2 x i-1 + 3 – 2 y i-1 + 3 = = d i+ 4 x i-1 – 4 y i-1 + 10= = d i + 4 (x i-1 - yi-1) + 10

Algoritmo de Bresenham Este resultado algebraico y el consiguiente algoritmo fueron derivados por J. Michener por aplicación de la metodología de Bresenham. La expresión para di es expandida usando las fórmulas de D(Si) y D(Ti). Sustituyendo i-1 por i, encontramos una expresión para di.1. Entonces la diferencia di – di-1 es formada y evaluada para cada uno de los posibles movimientos. El siguiente procedimiento esta basado en este resultado.

Algoritmo de Bresenham Procedure MICH_CIRCLE (radius,value:integer); {Se supone el centro del círculo en el origen} Var x,y,d:integer; Begin x:=0; y:=radius; d:= d- 3 * radius; while x<y do begin Circle_Points (x,y,value); if d<0 then d:= d + 4 * x + 6 { Selecciono S} else begin d := d + 4 * (x – y) + 10; { Selecciono T – decremento de y} y := y – 1 end x : = x + 1 end {While} if x = y then Circle_points (x,y,value); End {Mich_Circle}

Conclusiones y Otras Técnicas. Se han desarrollado otras técnicas para dibujar círculos y demás curvas. Jordan, Lenon y Holm desarrollaron un eficiente método para curvas en general, el cual puede ser expresado como f(x,y)=0 y tener continuas derivadas. Aunque más tarde se demostró que este método tenia ciertas limitaciones. En concreto casos especiales de algunas curvas que incluyen secciones cónicas y líneas rectas. Aunque el algoritmo pueda ser simplificado en esos casos, aún así, genera más carga por iteración que el algoritmo de Bresenham